Введення в негативний біноміальний розподіл

Негативний біноміальний розподіл описує ймовірність зазнати певної кількості невдач перед тим, як зазнати певної кількості успіхів у серії випробувань Бернуллі.

Випробування Бернуллі — це експеримент лише з двома можливими результатами — «успіх» або «невдача», і ймовірність успіху є однаковою кожного разу, коли експеримент проводиться.

Прикладом есе Бернуллі є підкидання монети. Монета може впасти лише на дві голови (ми можемо назвати орли «ударом», а решка — «провалом»), а ймовірність успіху кожного підкидання становить 0,5, якщо монета чесна.

Якщо випадкова величина _

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

золото:

• k: кількість відмов
• r: кількість успіхів
• p: ймовірність успіху в даному випробуванні
• _k+r-1 C _k : кількість комбінацій (k+r-1) елементів, взятих k за раз

Наприклад, скажімо, ми кидаємо монету і визначаємо «успішну» подію як приземлення на голови. Яка ймовірність зазнати 6 невдач, перш ніж відчути загалом 4 успіхи?

Щоб відповісти на це запитання, ми можемо використати від’ємний біноміальний розподіл із такими параметрами:

• k: кількість відмов = 6
• r: кількість успіхів = 4
• p: ймовірність успіху в даному випробуванні = 0,5

Підставляючи ці числа у формулу, ми знаходимо, що ймовірність:

P(X=6 невдач) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 .

Властивості від’ємного біноміального розподілу

Від’ємний біноміальний розподіл має такі властивості:

Середня кількість невдач, яку ми очікуємо, перш ніж ми отримаємо r успіхів, дорівнює pr/(1-p) .

Дисперсія очікуваної кількості невдач до отримання r успіхів дорівнює pr / (1-p) ² .

Наприклад, скажімо, ми кидаємо монету і визначаємо «успішну» подію як приземлення на голови.

Середня кількість невдач (наприклад, приземлення на хвіст), яку ми очікуємо до отримання 4 успіхів, буде pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 .

Дисперсія кількості невдач, яку ми очікуємо до отримання 4 успіхів, буде pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 .

Практичні задачі негативного біноміального розподілу

Використовуйте наведені нижче практичні завдання, щоб перевірити свої знання про від’ємний біноміальний розподіл.

Примітка. Щоб обчислити відповіді на ці запитання, ми використаємо калькулятор від’ємного біноміального розподілу .

Проблема 1

Запитання: Припустимо, ми кидаємо монету і визначаємо «успішну» подію як приземлення на голови. Яка ймовірність зазнати 3 невдач, перш ніж відчути загалом 4 успіхи?

Відповідь: Використовуючи калькулятор від’ємного біноміального розподілу з k = 3 невдачами, r = 4 успіхами та p = 0,5, ми знаходимо, що P(X=3) = 0,15625 .

Проблема 2

Запитання: Припустімо, ми ходимо від дверей до дверей і продаємо цукерки. Ми вважаємо «успіхом», якщо хтось купує моноблок. Імовірність того, що дана людина купить батончик, дорівнює 0,4. Яка ймовірність зазнати 8 невдач, перш ніж зазнати 5 успіхів?

Відповідь: використовуючи калькулятор від’ємного біноміального розподілу з k = 8 невдач, r = 5 успіхів і p = 0,4, ми знаходимо, що P(X=8) = 0,08514 .

Проблема 3

Запитання: припустімо, що ми кидаємо кубик і визначаємо «успішний» кидок як попадання на число 5. Імовірність того, що кубик впаде на 5 під час даного кидка, становить 1/6 = 0,167. Яка ймовірність зазнати 4 невдач, перш ніж відчути загалом 3 успіхи?

Відповідь: використовуючи калькулятор від’ємного біноміального розподілу з k = 4 невдачами, r = 3 успіхами та p = 0,167, ми знаходимо, що P(X=4) = 0,03364 .