Біноміальні досліди: пояснення + приклади

Розуміння біноміальних експериментів є першим кроком до розуміння біноміального розподілу .

Цей підручник визначає біноміальний експеримент і надає кілька прикладів експериментів, які вважаються або не вважаються біноміальними експериментами.

Біноміальний експеримент: визначення

Біноміальний експеримент — це експеримент, який має такі чотири властивості:

1. Експеримент складається з n повторних спроб. Число n може бути будь-яким. Наприклад, якщо ми кидаємо монету 100 разів, то n = 100.

2. Кожне випробування має лише два можливі результати. Ми часто називаємо результати «успіхом» або «провалом», але «успіх» — це лише позначка того, на що ми розраховуємо. Наприклад, коли ми кидаємо монету, ми можемо назвати голову «ударом», а решку «невдачею».

3. Імовірність успіху, позначена p , однакова для кожного випробування. Щоб експеримент був справжнім біноміальним експериментом, ймовірність «успіху» має бути однаковою для кожного випробування. Наприклад, коли ми підкидаємо монету, ймовірність отримати голови («успіх») завжди однакова кожного разу, коли ми підкидаємо монету.

4. Кожен тест є незалежним . Це просто означає, що результат одного судового розгляду не впливає на результат іншого судового розгляду. Наприклад, припустімо, що ми кидаємо монету, і вона випадає вгору. Той факт, що він потрапляє на голови, не змінює ймовірності того, що він потрапляє на голови під час наступного кидка. Кожне перекидання (тобто кожна «випробування») є незалежним.

Приклади біноміальних дослідів

Усі наведені нижче експерименти є прикладами біноміальних експериментів.

Приклад 1

Киньте монету 10 разів. Запишіть, скільки разів він приземлився хвостом.

Це біноміальний експеримент, оскільки він має такі чотири властивості:

• Експеримент складається з n повторних спроб. У цьому випадку є 10 спроб.
• Кожне випробування має лише два можливі результати. Монета може впасти лише на орла або решку.
• Імовірність успіху однакова для кожного випробування . Якщо ми визначаємо «успіх» як приземлення вам на голову, то ймовірність успіху становить рівно 0,5 для кожного випробування.
• Кожен тест незалежний . Результат одного розіграшу не впливає на результат будь-якого іншого розіграшу.

Приклад №2

Киньте справедливий 6-гранний кубик 20 разів. Запишіть, скільки разів з’являється 2.

Це біноміальний експеримент, оскільки він має такі чотири властивості:

• Експеримент складається з n повторних спроб. У цьому випадку є 20 судових процесів.
• Кожне випробування має лише два можливі результати. Якщо ми визначаємо 2 як «успіх», то кожного разу, коли кубик потрапляє або на 2 (успіх), або на інше число (невдача).
• Імовірність успіху однакова для кожного випробування . Для кожного випробування ймовірність того, що кубик випаде на 2, становить 1/6. Ця ймовірність не змінюється від одного випробування до іншого.
• Кожен тест незалежний . Результат кидка кубика не впливає на результат інших кидків кубика.

Приклад №3

Тайлер виконує 70% своїх штрафних кидків. Припустимо, він робить 15 спроб. Запишіть кількість кошиків, які він зробив.

Це біноміальний експеримент, оскільки він має такі чотири властивості:

• Експеримент складається з n повторних спроб. У цій справі є 15 судових процесів.
• Кожне випробування має лише два можливі результати. Під час кожної спроби Тайлер або робить кошик, або пропускає його.
• Імовірність успіху однакова для кожного випробування . Для кожної спроби ймовірність того, що Тайлер закине кошик, становить 70%. Ця ймовірність не змінюється від одного випробування до іншого.
• Кожен тест незалежний . Результат спроби штрафного кидка не впливає на результат будь-якої іншої спроби штрафного кидка.

Приклади, які не є біноміальними експериментами

Приклад 1

Запитайте 100 людей, скільки їм років .

Це не біноміальний експеримент, оскільки існує більше двох можливих результатів.

Приклад №2

Кидайте справедливий 6-гранний кубик, доки не з’явиться 5.

Це не біноміальний експеримент, оскільки немає заздалегідь визначеної кількості n випробувань. Ми не знаємо, скільки кидків знадобиться, поки не з’явиться 5.

Приклад №3

Витягніть 5 карт із колоди карт.

Це не біноміальний експеримент, оскільки результат одного випробування (наприклад, вилучення певної карти з колоди) впливає на результат наступних випробувань.

Приклад і рішення біноміального експерименту

У наступному прикладі показано, як розв’язати питання щодо біноміального експерименту.

Ви підкидаєте монету 10 разів. Яка ймовірність того, що монета впаде рівно на 7 голів?

Щоразу, коли ми хочемо знайти ймовірність n успіхів у біноміальному експерименті, нам потрібно використовувати таку формулу:

P(рівно k успіхів) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

золото:

• n: кількість спроб
• k: кількість успіхів
• C: символ «комбінації».
• p: ймовірність успіху в даному випробуванні

Підставивши ці числа у формулу, отримаємо:

P(7 головок) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (0,0078125) * (0,125) = 0,11719 .

Таким чином, ймовірність того, що монета випаде головою 7 разів, дорівнює 0,11719 .