Негативний біноміальний розподіл

за Редакція 3 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке від’ємний біноміальний розподіл і для чого він використовується. Ви також знайдете формулу для від’ємного біноміального розподілу, конкретний приклад і властивості цього типу розподілу ймовірностей. Нарешті, ви зможете розрахувати будь-яку ймовірність від’ємного біноміального розподілу за допомогою онлайн-калькулятора.

Що таке від’ємний біноміальний розподіл?

Негативний біноміальний розподіл — це розподіл ймовірностей, який описує кількість спроб Бернуллі, необхідних для отримання певної кількості позитивних результатів.

Отже, негативний біноміальний розподіл має два характерних параметри: r — кількість бажаних успішних результатів і p — ймовірність успіху для кожного проведеного експерименту Бернуллі.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

Пам’ятайте, що тест Бернуллі — це експеримент, який має два можливі результати: «успіх» і «невдача». Отже, якщо ймовірність «успіху» дорівнює p , то ймовірність «невдачі» дорівнює q=1-p .

Таким чином, негативний біноміальний розподіл визначає процес, у якому виконується стільки випробувань Бернуллі, скільки необхідно для отримання позитивних результатів . Крім того, усі ці випробування Бернуллі незалежні та мають постійну ймовірність успіху .

Наприклад, випадкова змінна, яка слідує за негативним біноміальним розподілом, — це кількість кидків кубика, доки число 6 не буде кинуто тричі.

Різниця між негативним біноміальним розподілом і біноміальним розподілом полягає в тому, що негативний біноміальний розподіл підраховує кількість разів, необхідних для отримання певної кількості успішних результатів, тоді як біноміальний розподіл підраховує кількість успішних випадків у серії тестів Бернуллі.

➤ Дивіться: Що таке біноміальний розподіл?

Формула від’ємного біноміального розподілу

Враховуючи параметри r, p, x, ймовірність від’ємного біноміального розподілу обчислюється множенням комбінаторного числа x-1 у xr на (1-p) ^xr на p ^r .

Отже, формула для обчислення ймовірності від’ємного біноміального розподілу :

Формула від’ємного біноміального розподілу

👉 Ви можете скористатися наведеним нижче калькулятором, щоб обчислити ймовірність змінної, яка відповідає від’ємному біноміальному розподілу.

Розв’язана вправа від’ємного біноміального розподілу

Яка ймовірність того, що якщо ви підкинете монету вісім разів, вона випаде орелами вчетверте під час восьмого підкидання?

По-перше, нам потрібно розрахувати ймовірність отримання голів при підкиданні монети. У цьому випадку ми маємо лише один позитивний результат (орла) з двох можливих результатів (орла та решка), тому ймовірність успіху дорівнює:

$p=\cfrac{1}{2}=0,5$

Таким чином, випадкова величина в цій задачі має негативний біноміальний розподіл, де r=4 і p=0,5. Тому ми використовуємо формулу від’ємного біноміального розподілу, щоб обчислити ймовірність виконання вправи.

$\begin{aligned}P[X=x]&=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r\\[2ex]\displaystyle P[X=8]&=\begin{pmatrix}8-1\\ 8-4\end{pmatrix}\cdot (1-0,5)^{8-4}\cdot 0,5^4\\[2ex] P[X=8]&=0,1367\end{aligned}$

Характеристика від’ємного біноміального розподілу

Нижче наведено найважливіші характеристики від’ємного біноміального розподілу.

Від’ємний біноміальний розподіл визначається двома характерними параметрами: r — кількість бажаних успішних результатів і p — ймовірність успіху для кожного проведеного експерименту Бернуллі.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c}r\in \mathbb{Z}^+ \\[2ex] 0 <ul><li> The mean of the negative binomial distribution is equal to <em>r</em> multiplied by <em>(1-p)</em> and divided by <em>p</em> . Thus the formula which makes it possible to calculate the mean of a negative binomial distribution is the following: </li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...The mean of the binomial distribution born
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ... the negative binomial distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...negative binomial distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...gative is equal to <em>r</em> multiplied
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...m> multiplied by <em>(1-p)</em> and divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the mean of a binomial distribution born
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.

Дисперсія від’ємного біноміального розподілу дорівнює r , помноженому на (1-p), поділеному на p ² .

$Var(X)=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p^2}$

Якщо параметр r більше 1, моду від’ємного біноміального розподілу можна обчислити за такою формулою:

$\displaystyle \lfloor \frac{(r-1)(1-p)}{p}\rfloor\quad \text{para }r>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”42″ width=”221″ style=”vertical-align: -16px;”></p> </p> <ul> <li> Функція маси, яка дає змогу визначити ймовірність від’ємного біноміального розподілу, виглядає наступним чином:</li> </ul> <p class=$ $P[X=x]=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r$

Коефіцієнт асиметрії від’ємного біноміального розподілу обчислюється за таким виразом:

$\displaystyle A=\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}$

Ексцес від’ємного біноміального розподілу можна знайти за такою формулою:

$\displaystyle C=\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}$

Якщо параметр r дорівнює 1, то маємо випадок геометричного розподілу .

$r=1 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad X\sim \text{Geometrica}(p)$

Калькулятор негативного біноміального розподілу

Введіть значення параметрів r, p, x в наступний калькулятор, щоб обчислити ймовірність. Ви повинні вводити числа, використовуючи крапку як десятковий роздільник, наприклад 0,50.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше