Децилі

за Редакція 5 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті ми пояснюємо, що таке децилі та як вони обчислюються. Ви також знайдете декілька розв’язаних покрокових прикладів децильних розрахунків і, крім того, ви зможете розрахувати децилі будь-якої статистичної вибірки за допомогою онлайн-калькулятора.

Що таке децилі?

У статистиці децилі – це дев’ять значень, які ділять набір упорядкованих даних на десять рівних частин. Таким чином, перший, другий, третій,… дециль представляє 10%, 20%, 30%,… вибірки чи сукупності.

Наприклад, значення четвертого дециля вище за 40% даних, але нижче за решту даних.

Децилі позначаються великою літерою D і децильним індексом, тобто перший дециль — D ₁ , другий — D ₂ , третій — D ₃ і т. д.

👉 Ви можете використовувати калькулятор нижче, щоб обчислити децилі для будь-якого набору даних.

Слід зазначити, що децилі є мірою нецентрального положення так само, як квартилі, квінтилі та процентилі. Ви можете перевірити значення кожного з цих типів квантилів на нашому веб-сайті.

Крім того, п’ятий дециль еквівалентний медіані та другому квартилю, оскільки вони ділять весь набір даних на дві рівні частини.

Як розрахувати децилі

Щоб обчислити децильну позицію серії статистичних даних, помножте децильне число на суму загальної кількості даних плюс один і розділіть результат на десять.

Отже, децильна формула :

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1, 2, 3,4,5,6,7,8,9$

Будь ласка, зверніть увагу: ця формула повідомляє нам позицію дециля, а не значення дециля. Дециль буде даними, розташованими в позиції, отриманій формулою.

Однак іноді результат цієї формули дає нам десяткове число, тому ми повинні розрізняти два випадки залежно від того, чи є результат десятковим числом чи ні:

Якщо результатом формули є число без десяткової частини , дециль — це дані, розташовані в позиції, передбаченій формулою вище.
Якщо результатом формули є число з десятковою частиною , децильне значення обчислюється за такою формулою:

$D=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Де x _i і x _i+1 — номери позицій, між якими знаходиться число, отримане за першою формулою, а d — десяткова частина числа, отриманого за першою формулою.

Тепер ви можете подумати, що отримати децилі статистичної вибірки складно, але на практиці це досить просто. Якщо ви прочитаєте наступні два приклади, ви напевно зрозумієте це набагато краще.

Примітка . Наукове співтовариство не зовсім погоджується з тим, як обчислювати децилі, тому ви можете знайти статистичні книги, які пояснюють це дещо інакше.

Приклад децильного розрахунку

Як ви бачили вище, обчислення децилів залежить від того, чи є число, яке дає нам перша формула, десятковим чи ні, тому ми підготували два розв’язаних приклади нижче, по одному для кожного випадку. У будь-якому випадку пам’ятайте, що якщо у вас виникнуть питання щодо складу децилей, ви можете задати їх у коментарях.

Приклад 1

За наступними даними, від найменшого до найбільшого, знайдіть перший, третій і восьмий дециль вибірки.

Дані в цій вправі вже відсортовано, тому немає потреби змінювати порядок, інакше нам доведеться спочатку відсортувати дані від найменшого до найбільшого.

Як пояснювалося вище, формула, яка дає змогу знайти положення децилів, така:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Розмір вибірки для цієї вправи становить 29 спостережень, тому, щоб обчислити позицію першого дециля, ви повинні замінити 29 замість n і 1 замість k :

$\cfrac{1\cdot (29+1)}{10}=3\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad D_1=85$

Результатом формули є 3, тому перший дециль буде на третій позиції впорядкованого списку, і це значення відповідає 85.

Тепер ми знову застосовуємо ту саму процедуру, але з третім децилем. Ми використовуємо формулу, замінюючи k на 3:

$\cfrac{3\cdot (29+1)}{10}=9\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad D_3=97$

Таким чином, третій дециль буде елементом на дев’ятій позиції, тобто 97.

Нарешті, ми виконуємо той самий процес, але додаємо 8 у формулу, щоб визначити восьмий дециль:

$\cfrac{8\cdot (29+1)}{10}=24\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad D_8=131$

Восьмий дециль буде числом у позиції 24 упорядкованого списку даних, отже восьмий дециль дорівнює 131.

Приклад 2

За даними в наступній таблиці обчисліть децилі 4, 7 і 9.

Як і в попередньому прикладі, щоб отримати положення децилів, необхідно використовувати таку формулу:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$

У цьому випадку розмір вибірки становить 42, тому, щоб знайти позицію четвертого дециля, потрібно замінити параметр n на 42, а k на 4:

$\cfrac{4\cdot (42+1)}{10}=17,2$

Але цього разу ми отримали десяткове число з формули, тому нам потрібно застосувати таку формулу, щоб обчислити точний дециль:

$D=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Число, отримане з першої формули, дорівнює 17,2, отже, четвертий дециль знаходиться між сімнадцятим і вісімнадцятим даними, тобто 109 і 112 відповідно. Отже, x _i дорівнює 109, x _{i+ 1} дорівнює 112, а d є десятковою частиною. від отриманого числа, тобто 0,2.

$D_4=109+0,2\cdot (112-109)=109,6$

Ми повторюємо той самий процес, щоб знайти сьомий дециль. Спочатку обчислимо положення дециля:

$\cfrac{7\cdot (42+1)}{10}=30,1$

З формули ми отримали число 30,1, яке означає, що дециль буде між позиціями 30 і 31, значення яких дорівнюють 154 і 159. Таким чином, розрахунок точного дециля:

$D_7=154+0,1\cdot (159-154)=154,5$

Нарешті, ми знову застосовуємо той самий метод, щоб отримати дев’ятий дециль. Визначаємо положення дециля:

$\cfrac{9\cdot (42+1)}{10}=38,7$

Отримане число є десятковим і знаходиться між 38 і 39, позиції якого відповідають значенням 189 і 196. Таким чином, обчислення дециля 9 виглядає так:

$D_9=189+0,7\cdot (196-189)=193,9$

Децильний калькулятор

Підключіть набір статистичних даних до калькулятора нижче, щоб обчислити децилі. Дані повинні бути розділені пробілом і введені крапкою як десятковим роздільником.

Децилі в згрупованих даних

Щоб обчислити децилі, коли дані згруповано в інтервали , нам спочатку потрібно знайти інтервал або бін, до якого потрапляє дециль, використовуючи таку формулу:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1, 2, 3,3,4,5,6,7,8,9$

Таким чином, дециль буде в інтервалі, абсолютна частота якого безпосередньо більша за число, отримане в попередньому виразі.

І коли ми вже знаємо інтервал, до якого належить дециль, ми повинні застосувати таку формулу, щоб знайти точне значення дециля:

$D_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{10}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i \qquad k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$

золото:

L _i – нижня межа інтервалу, в якому знаходиться дециль.
n – загальна кількість статистичних даних.
F _i-1 – кумулятивна абсолютна частота попереднього інтервалу.
f _i – абсолютна частота інтервалу, в якому знаходиться дециль.
I _i — ширина децильного інтервалу.

Щоб ви могли побачити, як це робиться, нижче ви маєте виконану вправу, у якій обчислюються децилі 3, 5 і 8 наступних даних, згрупованих за інтервалами.

Оскільки дані згруповані, обчислення кожного дециля складається з двох кроків: спочатку знайдіть інтервал, у який потрапляє дециль, а потім обчисліть точне значення дециля. Тому знаходимо інтервал третього дециля:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10}$

$\cfrac{3\cdot (70+1)}{10} =21,3 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [30,35)$

Децильним інтервалом буде інтервал, абсолютна кумулятивна частота якого безпосередньо перевищує 21,3, і в цьому випадку це інтервал [30,35), абсолютна кумулятивна частота якого дорівнює 31. Тепер, коли ми знаємо децильний інтервал, ми застосовуємо таку формулу, щоб знайти точне значення дециля:

$D_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{10}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$D_3=30+ \cfrac{\displaystyle\frac{3\cdot (70+1)}{10}-17}{14}\cdot 5=31,54$

Тепер ми повинні повторно застосувати метод, щоб отримати п’ятий дециль. Спочатку визначимо інтервал, в якому він лежить:

$\cfrac{5\cdot (70+1)}{10} =35,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [35,40)$

Результат 35 означає, що він знаходиться в інтервалі [35,40), але не тому, що у виразі інтервалу є 35, а тому, що його накопичена абсолютна частота (42) є найбільш високою. І як тільки інтервал визначено, ми застосовуємо другу формулу процесу:

$D_5=35+ \cfrac{\displaystyle\frac{5\cdot (70+1)}{10}-31}{11}\cdot 5=37,05$

Нарешті ми знаходимо восьмий дециль. Для цього спочатку обчислимо його інтервал:

$\cfrac{8\cdot (70+1)}{10} =56,8 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [40,45)$

Кумулятивна абсолютна частота безпосередньо вище 56,8 дорівнює 58, отже восьмий децильний діапазон становить [40,45). Тому достатньо визначити точне значення дециля:

$D_8=40+ \cfrac{\displaystyle\frac{8\cdot (70+1)}{10}-42}{16}\cdot 5=44,63$

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше