Довірчий інтервал для середнього

за Редакція 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке довірчий інтервал для середнього в статистиці та для чого він використовується. Так само ви дізнаєтесь, як розрахувати довірчий інтервал середнього значення, а також покрокову вправу.

Що таке довірчий інтервал середнього значення?

Довірчий інтервал для середнього — це інтервал, який забезпечує діапазон допустимих значень для середнього для сукупності. Іншими словами, довірчий інтервал для середнього дає нам максимальне значення та мінімальне значення, між якими пов’язує значення середнього сукупності з похибкою.

Наприклад, якщо 95% довірчий інтервал для середнього значення сукупності становить (6.10), це означає, що 95% часу середнє значення сукупності буде між 6 і 10.

Таким чином, довірчий інтервал середнього значення використовується для оцінки двох значень, між якими лежить середнє значення сукупності. Таким чином, довірчий інтервал середнього значення дуже корисний для наближення середнього значення сукупності, коли всі його значення невідомі.

Формула довірчого інтервалу для середнього

Припустимо, що процес введення змінної виглядає так:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

Довірчий інтервал для середнього обчислюється шляхом додавання та віднімання від середнього значення Z _α/2 , помноженого на стандартне відхилення (σ) і поділеного на квадратний корінь із розміру вибірки (n). Тому формула для обчислення довірчого інтервалу середнього має вигляд:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Для великих розмірів вибірки та 95% рівня довіри критичне значення становить Z _α/2 = 1,96, а для 99% рівня довіри критичне значення становить Z _α/2 = 2,576.

Наведена вище формула використовується, коли відома дисперсія сукупності. Однак, якщо дисперсія сукупності невідома, що найчастіше буває, довірчий інтервал середнього значення обчислюється за такою формулою:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

золото:

$\overline{x}$

це зразок засобів.
$t_{\alpha/2}$

– значення t-розподілу Стьюдента n-1 ступенів свободи з імовірністю α/2.
$s$

є стандартним відхиленням вибірки.
$n$

це розмір вибірки.

Приклад розрахунку довірчого інтервалу для середнього

Щоб ви могли побачити, як обчислюється довірчий інтервал для середнього значення сукупності, ми залишаємо вам приклад, розв’язаний крок за кроком.

У нас є вибірка з 8 спостережень зі значеннями, наведеними нижче. Що означає довірчий інтервал генеральної сукупності при 95% рівні довіри?

206 203 201 212
194 176 208 201

Як ми бачили в попередньому розділі, формула для отримання довірчого інтервалу середнього сукупності, коли ми не знаємо стандартне відхилення генеральної сукупності, виглядає наступним чином:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Отже, щоб визначити довірчий інтервал середнього значення, ми повинні спочатку обчислити вибіркове середнє значення та стандартне відхилення.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ Див.: Калькулятор середнього арифметичного
➤ Див.: Калькулятор стандартного відхилення

Оскільки ми хочемо знайти довірчий інтервал із рівнем довіри 1-α=95%, а розмір вибірки становить 8, нам потрібно отримати доступ до таблиці розподілу t Стьюдента та побачити, яке значення відповідає t _0,025|7 .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ Дивіться: Значення таблиці розподілу t Стьюдента

Тому ми застосовуємо формулу довірчого інтервалу для середнього значення та виконуємо обчислення, щоб знайти межі інтервалу:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

Підсумовуючи, розрахований довірчий інтервал говорить нам, що з рівнем довіри 95% середнє значення сукупності буде між 190,82 і 209,43.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке довірчий інтервал середнього значення?

Формула довірчого інтервалу для середнього

Приклад розрахунку довірчого інтервалу для середнього

Про автора

Редакція

Додати коментар