Закон великих чисел

У цій статті ми пояснюємо, що таке закон великих чисел і для чого він використовується в ймовірності та статистиці. Ви також зможете побачити приклад застосування закону великих чисел і, крім того, який зв’язок між цим законом і центральною граничною теоремою.

Що таке закон великих чисел?

У теорії ймовірностей закон великих чисел — це правило, яке описує результат виконання великої кількості разів. Більш конкретно, закон великих чисел говорить, що середнє значення результатів, отриманих у великій кількості випробувань, буде близьким до очікуваного значення.

Крім того, відповідно до закону великих чисел, чим більше експериментів ми проводимо, тим ближчими будуть результати до очікуваного значення.

Наприклад, якщо ми підкидаємо монету п’ять разів, ми можемо отримати голови лише один раз (20%). Однак, якщо монету підкинути кілька разів (понад 1000 підкидань), майже половина результатів буде головами (50%), оскільки це її очікуване значення. Це приклад закону великих чисел.

Походження закону великих чисел відносять до 16 століття Джероламо Кардано, однак багато авторів брали участь у розробці цього статистичного закону протягом історії: Бернуллі, Пуассон, Чебишев, Марков, Борель, Кантеллі, Колмогоров і Хінчін.

Приклад закону великих чисел

Ознайомившись із визначенням закону великих чисел, ми побачимо конкретний приклад, щоб краще зрозуміти його значення. У цьому випадку ми проаналізуємо ймовірність можливих результатів, які ми можемо отримати, кинувши кубик.

Існує шість можливих результатів під час кидання кубика (1, 2, 3, 4, 5 і 6), тому теоретична ймовірність кожної елементарної події дорівнює:

Тому ми кілька разів змоделюємо запуск і запишемо результати в таблицю частот , щоб перевірити, чи дотримується закон великих чисел.

Щоб ви могли зрозуміти важливість кількості проведених експериментів, ми спочатку змоделюємо десять запусків, потім сто і, нарешті, тисячу. Таким чином, результати, отримані в результаті моделювання 10 випадкових кидків кубика, такі:

Як бачите, ймовірності частоти, отримані моделюванням лише десяти кидків, не схожі на теоретичні ймовірності.

Але коли ми збільшуємо кількість експериментів, ці два показники стають більш схожими, подивіться на симуляцію 100 запусків:

Тепер ймовірність частоти, розрахована для кожного числа на кубику, більш схожа на його теоретичну ймовірність, однак ми все ще отримуємо дуже різні значення.

Нарешті, ми виконуємо ту саму процедуру, але симулюємо 1000 запусків:

Як ми бачимо в останній таблиці, тепер значення частотних ймовірностей дуже близькі до теоретичних ймовірностей.

Підсумовуючи, чим більше ми збільшуємо кількість проведених експериментів, тим більше значення частоти ймовірності події наближається до її теоретичної ймовірності появи. Таким чином, дотримується закон великих чисел , тому що чим більше ітерацій ми виконуємо, тим більше експериментальні значення схожі на теоретичні.

Обмеження закону великих чисел

Закон великих чисел справедливий у переважній більшості випадків, однак деякі типи розподілів ймовірностей не задовольняють цій статистичній теоремі.

Наприклад, розподіл Коші або розподіл Парето (α<1) не збігаються зі збільшенням кількості випробувань. Це пов’язано з великими хвостами розподілів, що означає, що вони не мають очікуваного значення.

З іншого боку, деякі експерименти є упередженими через свої характеристики, тому дослідник прагне змінити результати (навмисно чи ні) на раціональні, психологічні, економічні тощо. причини. У цих випадках закон великих чисел не допомагає усунути зміщення, але зміщення зберігатиметься незалежно від збільшення кількості випробувань.

Закон великих чисел і центральна гранична теорема

Закон великих чисел і центральна гранична теорема є двома тісно пов’язаними фундаментальними правилами ймовірності та статистики. Тому в цьому розділі ми побачимо, в чому полягає їх взаємозв’язок і в чому їх відмінність.

Центральна гранична теорема, яка також називається центральною граничною теоремою, говорить, що розподіл вибіркових середніх наближається до нормального розподілу зі збільшенням розміру вибірки, незалежно від розподілу ймовірностей сукупності.

Різниця між законом великих чисел і центральною граничною теоремою полягає в тому, що закон великих чисел говорить, що середнє значення великої кількості випробувань є близьким до свого очікуваного значення, але центральна гранична теорема говорить, що середнє значення багатьох із вибірки наближені до нормального розподілу.