Квантилі

за Редакція 5 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

Тут ви дізнаєтесь, що таке квантилі та як вони обчислюються. Ми також пояснюємо типи квантилів, і ви побачите розв’язані приклади обчислення квантилів. Нарешті, ви зможете обчислити будь-який квантиль вашої вибірки даних за допомогою онлайн-калькулятора.

Що таке квантилі?

У статистиці квантилі — це точки, які однаково ділять набір упорядкованих даних. Таким чином, квантиль вказує значення, нижче якого лежить відсоток даних.

Наприклад, якщо значення квантиля порядку 0,39 дорівнює 24, це означає, що 39% даних у вибірці менше 24, а решта даних перевищує 24.

Тому квантилі використовуються для розділення даних із розподілу на рівні групи. Крім того, вони також використовуються для позначення відсотка даних вище або нижче певного значення.

👉 Ви можете використовувати калькулятор нижче, щоб обчислити квантилі будь-якого набору даних.

Види квантилів

Різні типи квантилів:

Квартилі – квантилі, які ділять набір даних на чотири рівні частини. Отже, є три квартилі: перший квартиль (Q ₁ ), другий квартиль (Q ₂ ) і третій квартиль (Q ₃ ).
Квінтилі – квантилі, які ділять набір даних на п’ять рівних частин. Таким чином, у вибірці може бути лише чотири квінтилі. Цей тип квантилів позначається літерою К.
Децилі : квантилі, які ділять набір даних на десять рівних частин. Символом децилів є буква D.
Процентилі – квантилі, які ділять набір даних на сто рівних частин. Процентилі також вказують на відсоток вибірки. Вони називаються буквою П.

Однією з властивостей, яка пов’язує різні типи квантилів, є те, що медіана, другий квартиль, п’ятий дециль і 50-й процентиль мають однакове значення.

Крім того, існують також інші типи квантилів, але вони рідше використовуються. Серед них виділяються терцилі, які поділяють ряд даних на три однакові частини, і вігіланти, які розділяють зібрані дані на двадцять еквівалентних частин.

Подібним чином усі типи квантилів вважаються мірами нецентрального положення.

Як обчислити квантилі

Щоб обчислити позицію квантиля набору статистичних даних, потрібно помножити число квантиля на суму загальної кількості даних плюс один.

Таким чином, формула квантиля виглядає так:

$p\cdot (n+1)$

Будь ласка, зверніть увагу: ця формула повідомляє нам положення квантиля, а не його значення. Квантилем будуть дані, розташовані в позиції, отриманій формулою.

Однак іноді результат цієї формули дає нам десяткове число. Тому ми повинні розрізняти два випадки залежно від того, чи є результат десятковим числом чи ні:

Якщо результатом формули є число без десяткової частини , квантиль — це дані, які знаходяться в позиції, наданій формулою вище.
Якщо результатом формули є число з десятковою частиною , точне значення квантиля обчислюється за такою формулою:

$C=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Де x _i і x _i+1 — номери позицій, між якими знаходиться число, отримане за першою формулою, а d — десяткова частина числа, отриманого за першою формулою.

Якщо ви вважаєте, що розрахувати квантиль дуже складно, не хвилюйтеся. Прочитайте наведені нижче приклади, і ви побачите, що це насправді просто.

Примітка . У науковому співтоваристві досі немає консенсусу щодо того, як обчислювати квантилі, тому ви можете знайти статистичну книгу, яка пояснює це дещо інакше.

Приклади квантильного обчислення

Розглянувши визначення квантиля та теорію його обчислення, ви знайдете нижче розв’язану вправу на обчислення певних квантилів. Це допоможе вам краще зрозуміти концепцію.

Обчисліть квантиль порядку 0,50 і квантиль порядку 0,81 наступної статистичної вибірки.

Проблемні дані вже відсортовано в порядку зростання, тому їх не потрібно змінювати. В іншому випадку спочатку потрібно було б привести в порядок дані.

Як пояснювалося вище, формула для знаходження положення будь-якого квантиля така:

$p\cdot (n+1)$

У цьому випадку розмір вибірки становить 49 спостережень, тому, щоб обчислити квантиль 0,50, нам потрібно замінити n на 49 і p на 0,50:

$0,5\cdot (49+1)=25\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad C_{0,50}=250$

Отже, квантиль 0,50 буде значенням, яке знаходиться на двадцять п’ятій позиції впорядкованого списку, що відповідає значенню 250.

Тепер ми знову застосовуємо ту саму формулу, щоб знайти квантиль 0,81. Логічно, що в цьому другому прикладі ми повинні замінити p на 0,81.

$0,81\cdot (49+1)=40,5$

Але цього разу ми отримали десяткове число з формули (40.5), що означає, що квантиль буде між позиціями 40 і 41. Отже, щоб визначити цю квантиль, нам потрібно використовувати формулу другого методу:

$C=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

У цьому випадку квантиль буде знаходитися між позиціями 40 і 41, значення яких дорівнюють 286 і 289 відповідно. Отже, x _i дорівнює 286, x _i+1 дорівнює 289, а d є десятковою частиною отриманого числа, i, тобто 0,5.

$C_{0,81}=286+0,5\cdot (289-286)=287,5$

Як бачите, обчислення квантиля залежить від того, чи дає нам перша формула десяткове число. Якщо ви хочете побачити більше прикладів, ви можете побачити більше розв’язаних вправ на різні типи квантилів тут:

➤ Див.: приклади квартилів
➤ Див.: приклади квінтилів
➤ Див.: приклади децилів
➤ Див.: приклади процентилів

калькулятор квантилів

Введіть набір статистичних даних і квантиль, який потрібно обчислити, у калькулятор нижче. Числа мають бути розділені пробілом і введені крапкою як десятковим роздільником.

Квантилі в згрупованих даних

Щоб обчислити квантиль, коли дані групуються в інтервали, нам спочатку потрібно знайти інтервал або бін, до якого потрапляє квантиль, використовуючи таку формулу:

$p\cdot (n+1)$

Таким чином, квантиль знаходитиметься в інтервалі, накопичена абсолютна частота якого відразу перевищує число, отримане в попередньому виразі.

І коли ми знаємо інтервал, до якого належить квантиль, ми повинні застосувати таку формулу, щоб знайти точне значення квантиля:

$C=L_i+ \cfrac{p\cdot (n+1)-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

золото:

L _i — нижня межа інтервалу, в якому лежить квантиль.
n – загальна кількість спостережень.
F _i-1 – кумулятивна абсолютна частота попереднього інтервалу.
f _i — абсолютна частота інтервалу, в якому лежить квантиль.
I _i – ширина квантильного інтервалу.

Щоб показати вам, як це зробити, ось конкретний приклад обчислення квантилів порядку 0,29 і 0,62 для згрупованих даних.

Щоб обчислити квантиль 0,29, ми повинні спочатку знайти інтервал, в якому він лежить. Для цього використовуємо таку формулу:

$p\cdot (n+1)$

$0,29\cdot (500+1)=145,29 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [350,375)$

Таким чином, квантиль знаходитиметься в інтервалі, чия кумулятивна абсолютна частота безпосередньо перевищує 145,29, що в даному випадку є інтервалом [350,375), чия кумулятивна абсолютна частота дорівнює 175. І як тільки ми знаємо квантильний інтервал, ми використовуємо формулу другого метод:

$C=L_i+ \cfrac{p\cdot (n+1)-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$C_{0,29}=350+ \cfrac{0,29\cdot (500+1)-131}{44}\cdot 25 =358,12$

Тепер ми знову застосовуємо ту саму процедуру, щоб отримати квантиль 0,62. Спочатку ми обчислюємо інтервал, де є квантиль:

$0,62\cdot (500+1)=310,62 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [425,450)$

Інтервал, сукупна абсолютна частота якого безпосередньо перевищує 310,62, становить [425,450), із сукупною абсолютною частотою 347. Тому ми обчислюємо точне значення квантиля, використовуючи другу формулу в процесі:

$C_{0,62}=425+ \cfrac{0,62\cdot (500+1)-298}{49}\cdot 25=431,44$

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке квантилі?

Види квантилів

Як обчислити квантилі

Приклади квантильного обчислення

калькулятор квантилів

Квантилі в згрупованих даних

Про автора

Редакція

Додати коментар