Середнє значення, медіана та мода

за Редакція 5 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке середнє значення, медіана та мода. Ви дізнаєтесь, як отримати середнє значення, медіану та моду, для чого вони використовуються та яка різниця між цими трьома статистичними показниками. Крім того, ви зможете обчислити середнє значення, медіану та моду будь-якої статистичної вибірки за допомогою онлайн-калькулятора в кінці.

Що таке середнє, медіана та мода?

Середнє значення, медіана та мода є статистичними показниками центрального положення. Іншими словами, середнє, медіана і мода – це значення, які допомагають визначити статистичну вибірку, зокрема, вони вказують, які її центральні значення.

Середнє, медіана та мода визначаються таким чином:

Середнє : це середнє значення всіх даних у вибірці.
Медіана : це середнє значення всіх даних, упорядкованих від найменшого до найбільшого.
Режим : це значення, яке найчастіше повторюється в наборі даних.

Ці три статистичні показники пояснюються більш детально нижче.

половина

Щоб обчислити середнє значення, додайте всі значення, а потім розділіть на загальну кількість даних. Таким чином, формула середнього значення виглядає наступним чином:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

👉 Ви можете використовувати калькулятор нижче, щоб обчислити середнє значення, медіану та моду будь-якого набору даних.

Середній символ – горизонтальна смуга над літерою х

$(\overline{x}).$

Ви також можете відрізнити середнє значення вибірки від середнього сукупності за допомогою символу середнього: середнє значення вибірки виражається символом

$\overline{x}$

, тоді як середнє населення використовує грецьку літеру

$\mu.$

Середнє також відоме як середнє арифметичне або середнє . Крім того, середнє значення статистичного розподілу еквівалентно його математичному сподіванню.

Середній приклад

За навчальний рік учень отримав такі оцінки: з математики – 9, з мови – 7, з історії – 6, з економіки – 8, з природознавства – 7,5. Яке середнє серед усіх ваших оцінок?

Щоб знайти середнє арифметичне, потрібно скласти всі оцінки, а потім розділити на загальну кількість предметів у курсі, тобто 5. Тому застосовуємо формулу середнього арифметичного:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

Підставляємо дані у формулу і обчислюємо середнє арифметичне:

$\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3$

Як бачимо, у середньому арифметичному кожному значенню присвоюється однакова вага, тобто кожна частина даних має однакову вагу в межах цілого.

Медіана

Медіана – це середнє значення всіх даних, упорядкованих від найменшого до найбільшого. Іншими словами, медіана ділить упорядкований набір даних на дві рівні частини.

Розрахунок медіани залежить від того, парна чи непарна загальна кількість даних:

Якщо загальна кількість даних непарна , медіаною буде значення, яке потрапляє прямо в середину даних. Тобто значення, яке знаходиться в позиції (n+1)/2 відсортованих даних.

$Me=x_{\frac{n+1}{2}$

Якщо загальна кількість точок даних парна , медіана буде середнім значенням двох точок даних, розташованих у центрі. Тобто середнє арифметичне значень, які знаходяться в позиціях n/2 і n/2+1 упорядкованих даних.

$Me=\cfrac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

золото

$n$

це загальна кількість елементів даних у вибірці.

Термін Me часто використовується як символ для позначення того, що значення є медіаною всіх спостережень.

Медіанний приклад

Знайдіть медіану таких даних: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

Перше, що потрібно зробити перед тим, як робити обчислення, це класифікувати дані, тобто розташувати числа від найменшого до найбільшого.

$1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 8$

У цьому випадку ми маємо 11 спостережень, тому загальна кількість даних непарна. Тому ми застосовуємо наступну формулу для обчислення положення медіани:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6$

Тому медіаною будуть дані, розташовані на шостій позиції, що в даному випадку відповідає значенню 4.

$Me=x_6=4$

Мода

У статистиці мода – це значення в наборі даних, яке має найвищу абсолютну частоту, тобто мода – це найбільш повторюване значення в наборі даних.

Тому, щоб обчислити режим набору статистичних даних, просто підрахуйте, скільки разів кожен елемент даних з’являється у вибірці, і найбільш повторювані дані будуть режимом.

Режим також можна назвати статистичним режимом або модальним значенням . Так само, коли дані групуються в інтервали, найбільш повторюваний інтервал є модальним інтервалом або модальним класом .

Загалом, термін Mo використовується як символ для статистичного режиму, наприклад, режим розподілу X є Mo(X).

За кількістю найбільш повторюваних значень можна виділити три типи режимів:

Унімодальний режим : є лише одне значення з максимальною кількістю повторів. Наприклад, [1, 4, 2, 4, 5, 3].
Бімодальний режим : максимальна кількість повторів відбувається при двох різних значеннях, і обидва значення повторюються однакову кількість разів. Наприклад, [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9].
Мультимодальний режим : три або більше значень мають однакову максимальну кількість повторень. Наприклад, [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1].

приклад моди

Який режим наступного набору даних?

$5 \ 4 \ 9 \ 7 \ 2 \ 3 \ 9 \ 6 \ 5 \ 2 \ 5$

Числа не в порядку, тому перше, що ми зробимо, це відсортуємо їх. Цей крок не є обов’язковим, але він допоможе вам легше знайти моду.

$2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 7 \ 9 \ 9$

Числа 2 і 9 з’являються двічі, але число 5 повторюється тричі. Таким чином, режим ряду даних номер 5.

$Mo=5$

Розв’язана вправа середнього, медіани та моди

Тепер, коли ви знаєте, що таке середнє, медіана та мода, нижче наведено детальну вправу щодо цих статистичних показників, щоб ви могли точно побачити, як вони обчислюються.

Знайдіть середнє значення, медіану та моду наступного набору статистичних даних:

$8 \ 7 \ 0 \ 6 \ 10 \ 9 \ 13 \ 8 \ 0 \ 6 \ 2 \ 6 \ 5 \ 11 \ 10$

$0 \ 9 \ 8 \ 6 \ 12 \ 3 \ 5 \ 11 \ 1 \ 4 \ 8 \ 10 \ 2 \ 5 \ 7$

Щоб знайти середнє значення даних, нам потрібно все це скласти, а потім розділити на загальну кількість даних, яка дорівнює 30:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}=\frac{192}{30}=6,4$

По-друге, давайте дізнаємося вибіркову медіану. Отже, розставляємо всі числа в порядку зростання:

$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 6 \ 6 \ 6$

$7 \ 7 \ 8 \ 8 \ 8 \ 8 \ 9 \ 9 \ 10 \ 10 \ 10 \ 11 \ 11 \ 12 \ 13$

У цьому випадку загальна кількість даних парна, тому необхідно обчислити дві центральні позиції, між якими буде знаходитися медіана. Для цього ми використовуємо наступні дві формули:

$\cfrac{n}{2}=\cfrac{30}{2}=15$

$\cfrac{n}{2}+1=\cfrac{30}{2}+1=16$

Тому медіана буде знаходитися між п’ятнадцятою і шістнадцятою позицією, що відповідає відповідно значенням 6 і 7. Точніше, медіана еквівалентна середньому цих значень:

$Me=\cfrac{x_{15}+x_{16}}{2}=\cfrac{6+7}{2}=6,5$

Нарешті, щоб знайти режим, вам просто потрібно порахувати кількість разів, коли кожне число з’являється. Як бачите, цифри 6 і цифри 8 з’являються чотири рази, що є максимальною кількістю повторень. Тому в цьому випадку це бімодальний режим, а два числа є режимом набору даних:

$Mo=\{ 6 \ ; \ 8\}$

Калькулятор середнього, медіани та моди

Введіть дані з будь-якої статистичної вибірки в наступний онлайн-калькулятор, щоб обчислити її середнє значення, медіану та моду. Дані повинні бути розділені пробілом і введені крапкою як десятковим роздільником.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше