Теорія ймовірностей

за Редакція 1 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке теорія ймовірностей і для чого вона використовується. Отже, ви знайдете основні поняття теорії ймовірностей, а також властивості та закони теорії ймовірностей.

Що таке теорія ймовірності?

Теорія ймовірностей — це набір правил і властивостей, які використовуються для обчислення ймовірності випадкового явища. Таким чином, теорія ймовірності дозволяє нам знати, який результат випадкового експерименту найбільш ймовірний.

Майте на увазі, що випадкове явище – це результат, який можна отримати в результаті експерименту, результат якого неможливо передбачити, але залежить від випадковості. Таким чином, теорія ймовірностей — це набір законів, які дозволяють нам визначити ймовірність виникнення випадкового явища.

Наприклад, коли ми кидаємо монету, ми можемо отримати два можливі результати: орла або решка. Що ж, ми можемо використати теорію ймовірностей, щоб обчислити ймовірність отримання голів, яка в цьому випадку становить 50%.

Протягом історії багато людей зробили внесок у розвиток теорії ймовірностей, серед яких виділяються Кардано, Лаплас, Гаусс і Колмогоров.

➤ Див.: Формули ймовірності

Основи теорії ймовірностей

Зразок простору

У теорії ймовірностей простір вибірки — це набір усіх можливих результатів випадкового експерименту.

Символ простору вибірки — це велика грецька літера Омега (Ω), хоча вона також може бути представлена великою літерою E.

Наприклад, вибірковий простір для кидання кубика такий:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

➤ Див.: Зразок простору

Подія

У теорії ймовірностей подія (або подія) — це кожен можливий результат випадкового експерименту. Отже, ймовірність події — це значення, яке вказує на ймовірність настання результату.

Наприклад, у підкиданні монети є дві події: «орел» і «решка».

Існують різні типи подій:

Елементарна подія (або проста подія): кожен із можливих результатів експерименту.
Складена подія: це підмножина простору вибірки.
Певна подія: це результат випадкового досвіду, який завжди відбуватиметься.
Неможлива подія: це результат випадкового експерименту, який ніколи не відбудеться.
Сумісні події: дві події є сумісними, якщо вони мають спільну елементарну подію.
Несумісні події: дві події є несумісними, якщо вони не мають спільної елементарної події.
Незалежні події: дві події є незалежними, якщо ймовірність однієї з них не впливає на ймовірність іншої.
Залежні події: дві події є залежними, якщо ймовірність виникнення однієї змінює ймовірність появи іншої.
Подія, що суперечить іншій: та подія, яка відбувається, коли інша подія не відбувається.

➤ Див.: Типи подій

Аксіоми ймовірності

Аксіомами ймовірності є:

Аксіома ймовірності 1 : ймовірність події не може бути негативною.

$0\leq P(A)\leq 1$

Аксіома ймовірності 2 : ймовірність певної події дорівнює 1.

$P(\Omega)=1$

Аксіома ймовірності 3 : ймовірність набору несумісних подій дорівнює сумі всіх ймовірностей.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ Див.: Аксіоми ймовірності

Властивості ймовірності

Імовірнісні властивості:

Імовірність однієї події еквівалентна одиниці мінус ймовірність протилежної події.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Імовірність неможливої події завжди дорівнює нулю.

$P(\varnothing)=0$

Якщо подія включена в іншу подію, ймовірність першої події має бути меншою або дорівнювати ймовірності другої події.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Ймовірність об’єднання двох подій дорівнює сумі ймовірностей кожної окремої події мінус ймовірність їх перетину.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Дано набір несумісних подій два на два, їх спільна ймовірність обчислюється шляхом додавання ймовірності появи кожної події.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Сума ймовірностей усіх елементарних подій у вибірковому просторі дорівнює 1.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

➤ Див.: Властивості ймовірності

Імовірнісні правила

Правило Лапласа

Правило Лапласа — це імовірнісне правило, яке використовується для обчислення ймовірності події, що відбувається у вибірковому просторі.

Більш конкретно, правило Лапласа говорить, що ймовірність події дорівнює кількості сприятливих випадків, поділеній на загальну кількість можливих випадків. Тому формула правила Лапласа має такий вигляд:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

Наприклад, якщо ми покладемо 5 зелених куль, 4 синіх і 2 жовті кулі в мішок, ми можемо знайти ймовірність випадкового вилучення зеленої кулі за правилом Лапласа:

$P(\text{bola verde})=\cfrac{5}{5+4+2}=0,45$

➤ Див.:правило Лапласа (ймовірність)

правило суми

У теорії ймовірностей правило суми (або правило додавання) говорить, що сума ймовірностей двох подій дорівнює сумі ймовірностей кожної окремої події мінус ймовірність того, що обидві події відбудуться одночасно. час. .

Отже, формула правила додавання має такий вигляд:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Розв’язані покрокові вправи на застосування правила додавання можна переглянути за посиланням:

➤ Див.: Правило додавання (ймовірність)

правило множення

Правило множення (або правило добутку) говорить, що спільна ймовірність настання двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей настання кожної події.

Тому формула правила множення має такий вигляд:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Однак формула для правила множення змінюється залежно від того, є події незалежними чи залежними. Ви можете побачити формулу правила множення для залежних подій і приклади застосування цього правила, натиснувши тут:

➤ Див.: Правило множення (ймовірність)

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше