Типи ймовірнісних розподілів

за Редакція 3 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється різні типи розподілу ймовірностей у статистиці. Тож ви дізнаєтеся, скільки існує типів розподілу ймовірностей і які між ними відмінності.

Які бувають типи розподілу ймовірностей?

Типи розподілу ймовірностей :

Дискретні розподіли ймовірностей :
- Дискретний рівномірний розподіл .
- Розподіл Бернуллі .
- Біноміальний розподіл .
- Розподіл риби .
- Мультиноміальний розподіл .
- Геометричний розподіл .
- Негативний біноміальний розподіл .
- Гіпергеометричний розподіл .
Безперервні розподіли ймовірностей :

Рівномірний і безперервний розподіл .
Нормальний розподіл .
Логанормальний розподіл .
Розподіл хі-квадрат .
Розподіл Стьюдента .
Розповсюдження Снедекор Ф.
Експоненціальний розподіл .
Бета-розповсюдження .
Гамма-розподіл .
Розподіл Вейбулла .
Розподіл Парето .

Кожен тип розподілу ймовірностей докладно пояснюється нижче.

Дискретні розподіли ймовірностей

Дискретний розподіл ймовірностей — це розподіл, який визначає ймовірності дискретної випадкової величини. Тому дискретний розподіл ймовірностей може приймати лише кінцеву кількість значень (зазвичай це цілі значення).

Дискретний рівномірний розподіл

Дискретний рівномірний розподіл — це дискретний розподіл ймовірностей, у якому всі значення є рівноімовірними, тобто в дискретному рівномірному розподілі всі значення мають однакову ймовірність появи.

Наприклад, кидок кубика можна визначити за допомогою дискретного рівномірного розподілу, оскільки всі можливі результати (1, 2, 3, 4, 5 або 6) мають однакову ймовірність виникнення.

Загалом, дискретний рівномірний розподіл має два характеристичні параметри, a і b , які визначають діапазон можливих значень, які може прийняти розподіл. Таким чином, коли змінна визначається дискретним рівномірним розподілом, вона записується Uniform(a,b) .

$X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

Дискретний рівномірний розподіл можна використовувати для опису випадкових експериментів, оскільки якщо всі результати мають однакову ймовірність, це означає, що в експерименті є випадковість.

➤ Див.: Характеристики дискретного рівномірного розподілу

Розподіл Бернуллі

Розподіл Бернуллі , також відомий як дихотомічний розподіл , є розподілом ймовірностей, який представляє дискретну змінну, яка може мати лише два результати: «успіх» або «невдача».

У розподілі Бернуллі «успіх» — це результат, який ми очікуємо, і має значення 1, тоді як результат «невдача» — результат, відмінний від очікуваного, і має значення 0. Отже, якщо ймовірність результату « успіх» дорівнює p , ймовірність результату «невдачі» дорівнює q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Розподіл Бернуллі названо на честь швейцарського статистика Якоба Бернуллі.

У статистиці розподіл Бернуллі в основному має одне застосування: визначення ймовірностей експериментів, у яких є лише два можливі результати: успіх і невдача. Отже, експеримент, який використовує розподіл Бернуллі, називається тестом Бернуллі або експериментом Бернуллі.

➤ Див.: Характеристики розподілу Бернуллі

Біноміальний розподіл

Біноміальний розподіл , який також називають біноміальним розподілом , — це розподіл ймовірностей, який підраховує кількість успіхів під час виконання серії незалежних дихотомічних експериментів із постійною ймовірністю успіху. Іншими словами, біноміальний розподіл — це розподіл, який описує кількість успішних результатів послідовності випробувань Бернуллі.

Наприклад, кількість разів, коли монета випадає на голову 25 разів, є біноміальним розподілом.

Загалом, загальна кількість проведених експериментів визначається параметром n , тоді як p є ймовірністю успіху кожного експерименту. Таким чином, випадкова величина, яка слідує за біноміальним розподілом, записується так:

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

Зауважте, що в біноміальному розподілі той самий експеримент повторюється n разів, і експерименти не залежать один від одного, тому ймовірність успіху для кожного експерименту однакова (p) .

➤ Див.: Характеристики біноміального розподілу

Розподіл риби

Розподіл Пуассона — це розподіл ймовірностей, який визначає ймовірність певної кількості подій, що відбуваються протягом певного періоду часу. Іншими словами, розподіл Пуассона використовується для моделювання випадкових змінних, які описують кількість повторень явища в інтервалі часу.

Наприклад, кількість викликів, прийнятих телефонною станцією за хвилину, є дискретною випадковою величиною, яку можна визначити за допомогою розподілу Пуассона.

Розподіл Пуассона має характерний параметр, представлений грецькою літерою λ і вказує кількість разів, коли досліджувана подія, як очікується, відбудеться протягом заданого інтервалу.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

➤ Див.: Характеристики розподілу Пуассона

мультиноміальний розподіл

Мультиноміальний розподіл (або мультиноміальний розподіл ) — це розподіл ймовірностей, який описує ймовірність виникнення кількох ексклюзивних подій певну кількість разів після виконання кількох випробувань.

Тобто, якщо випадковий експеримент може призвести до трьох або більше виняткових подій і відома ймовірність кожної окремої події, мультиноміальний розподіл використовується для обчислення ймовірності того, що під час виконання кількох експериментів відбудеться певна кількість подій. разів на кожну подію.

Тому мультиноміальний розподіл є узагальненням біноміального розподілу.

➤ Див.: Властивості мультиноміального розподілу

геометричний розподіл

Геометричний розподіл — це розподіл ймовірностей, який визначає кількість проб Бернуллі, необхідних для отримання першого успішного результату. Тобто геометричний розподіл моделює процеси, в яких експерименти Бернуллі повторюються, поки один з них не отримає позитивний результат.

Наприклад, кількість автомобілів, які проїжджають по шосе, поки вони не побачать жовту машину, є геометричним розподілом.

Пам’ятайте, що тест Бернуллі — це експеримент, який має два можливі результати: «успіх» і «невдача». Отже, якщо ймовірність «успіху» дорівнює p , то ймовірність «невдачі» дорівнює q=1-p .

Отже, геометричний розподіл залежить від параметра p , який є ймовірністю успіху всіх проведених експериментів. Крім того, ймовірність p однакова для всіх експериментів.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ Див.: Характеристики геометричного розподілу

негативний біноміальний розподіл

Негативний біноміальний розподіл — це розподіл ймовірностей, який описує кількість проб Бернуллі, необхідних для отримання певної кількості позитивних результатів.

Отже, негативний біноміальний розподіл має два характерні параметри: r — бажана кількість успішних результатів і p — ймовірність успіху для кожного проведеного експерименту Бернуллі.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

Таким чином, негативний біноміальний розподіл визначає процес, у якому виконується стільки спроб Бернуллі, скільки необхідно для отримання позитивних результатів . Крім того, усі ці випробування Бернуллі незалежні та мають постійну ймовірність успіху .

Наприклад, випадкова змінна, яка слідує за від’ємним біноміальним розподілом, — це кількість кидків кубика, доки число 6 не стане тричі.

➤ Див.: Характеристики від’ємного біноміального розподілу

гіпергеометричний розподіл

Гіпергеометричний розподіл — це розподіл ймовірностей, який описує кількість успішних випадків у випадковому вилученні без заміни n елементів із сукупності.

Тобто гіпергеометричний розподіл використовується для обчислення ймовірності отримання x успіхів при вилученні n елементів із сукупності без заміни жодного з них.

Отже, гіпергеометричний розподіл має три параметри:

N : кількість елементів у сукупності (N = 0, 1, 2,…).
K : максимальна кількість успішних випадків (K = 0, 1, 2,…,N). Оскільки в гіпергеометричному розподілі елемент можна вважати лише «успішним» або «невдалим», NK — це максимальна кількість випадків відмови.
n : це кількість виконаних вибірок без заміни.

$X \sim HG(N,K,n)$

➤ Див.: Характеристики гіпергеометричного розподілу

Неперервні розподіли ймовірностей

Безперервний розподіл ймовірностей – це такий, який може приймати будь-яке значення в інтервалі, включаючи десяткові значення. Отже, неперервний розподіл ймовірностей визначає ймовірності неперервної випадкової величини.

рівномірний і безперервний розподіл

Безперервний рівномірний розподіл , також званий прямокутним розподілом , є типом безперервного розподілу ймовірностей, у якому всі значення мають однакову ймовірність появи. Іншими словами, неперервний рівномірний розподіл — це розподіл, у якому ймовірність рівномірно розподілена на інтервалі.

Неперервний рівномірний розподіл використовується для опису неперервних змінних, які мають постійну ймовірність. Подібним чином безперервний рівномірний розподіл використовується для визначення випадкових процесів, оскільки якщо всі результати мають однакову ймовірність, це означає, що результат є випадковим.

Неперервний рівномірний розподіл має два характеристичні параметри, a і b , які визначають інтервал рівної ймовірності. Таким чином, символ безперервного рівномірного розподілу – U(a,b) , де a і b – характерні значення розподілу.

$X\sim U(a,b)$

Наприклад, якщо результат випадкового експерименту може приймати будь-яке значення від 5 до 9 і всі можливі результати мають однакову ймовірність виникнення, експеримент можна змоделювати з безперервним рівномірним розподілом U(5.9).

➤ Див.: Характеристики безперервного рівномірного розподілу

Нормальний розподіл

Нормальний розподіл — це безперервний розподіл ймовірностей, графік якого має форму дзвона та симетричний відносно свого середнього. У статистиці нормальний розподіл використовується для моделювання явищ із дуже різними характеристиками, тому цей розподіл такий важливий.

Насправді в статистиці нормальний розподіл вважається найважливішим розподілом із усіх розподілів ймовірностей, оскільки він дозволяє не тільки моделювати велику кількість реальних явищ, але й використовувати нормальний розподіл для наближення інших типів розподілів. за певних умов.

Символом нормального розподілу є велика літера N. Отже, щоб вказати, що змінна відповідає нормальному розподілу, вона позначається літерою N, а значення її середнього арифметичного та стандартного відхилення додаються в дужках.

$X\sim N(\mu,\sigma)$

Нормальний розподіл має багато різних назв, включаючи розподіл Гаусса , розподіл Гаусса та розподіл Лапласа-Гаусса .

➤ Див.: Характеристики нормального розподілу

Логанормальний розподіл

Логарифмічний нормальний розподіл або логарифмічний нормальний розподіл — це розподіл ймовірностей, який визначає випадкову величину, чий логарифм відповідає нормальному розподілу.

Отже, якщо змінна X має нормальний розподіл, то експоненціальна функція e ^x має логнормальний розподіл.

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

Зауважте, що логарифмічний нормальний розподіл можна використовувати лише тоді, коли значення змінної додатні, оскільки логарифм — це функція, яка приймає лише один додатний аргумент.

Серед різних застосувань логнормального розподілу в статистиці ми виділяємо використання цього розподілу для аналізу фінансових інвестицій і проведення аналізу надійності.

Логнормальний розподіл також відомий як розподіл Тіно , іноді також записується як логарифмічний нормальний розподіл або логарифмічний нормальний розподіл .

➤ Див.: Характеристики логнормального розподілу

Розподіл хі-квадрат

Розподіл хі-квадрат – це розподіл ймовірностей, символом якого є χ². Точніше, розподіл хі-квадрат — це сума квадратів k незалежних випадкових величин із нормальним розподілом.

Таким чином, розподіл хі-квадрат має k ступенів свободи. Отже, розподіл хі-квадрат має стільки ступенів свободи, скільки сума квадратів змінних із нормальним розподілом, які він представляє.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

Розподіл хі-квадрат також відомий як розподіл Пірсона .

Розподіл хі-квадрат широко використовується в статистичних висновках, наприклад, для перевірки гіпотез і довірчих інтервалів. Нижче ми побачимо застосування цього типу розподілу ймовірностей.

➤ Див.: Характеристики розподілу хі-квадрат

Розподіл Стьюдента

Розподіл Стьюдента — це розподіл ймовірностей, який широко використовується в статистиці. Зокрема, t-розподіл Стьюдента використовується в t-критерії Стьюдента для визначення різниці між середніми значеннями двох вибірок і встановлення довірчих інтервалів.

Розподіл Стьюдента був розроблений статистиком Вільямом Сілі Госсетом у 1908 році під псевдонімом «Студент».

Розподіл t Стьюдента визначається кількістю ступенів свободи, отриманим шляхом віднімання однієї одиниці із загальної кількості спостережень. Тому формула для визначення ступенів свободи t-розподілу Стьюдента має вигляд ν=n-1 .

$\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}$

➤ Див.: Характеристики t-розподілу Стьюдента

Snedecor F Розповсюдження

F-розподіл Снедекора , також званий F-розподілом Фішера–Снедекора або просто F-розподілом , є безперервним розподілом ймовірностей, який використовується в статистичних висновках, зокрема в дисперсійному аналізі.

Однією з властивостей F-розподілу Снедекора є те, що він визначається значенням двох дійсних параметрів, m і n , які вказують його ступені свободи. Таким чином, символом для розподілу Снедекора F є F _m,n , де m і n є параметрами, які визначають розподіл.

$F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”139″ style=”vertical-align: -6px;”> Математично F-розподіл Снедекора дорівнює частці між одним розподілом хі-квадрат і його ступенями свободи, поділеним на частку між іншим розподілом хі-квадрат і його ступенями свободи. Таким чином, формула, яка визначає розподіл Снедекора F, виглядає наступним чином: <p class=$ $\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}$

Розподіл Фішера-Снедекора F отримав свою назву на честь англійського статистика Рональда Фішера та американського статистика Джорджа Снедекора.

У статистиці F-розподіл Фішера-Снедекора має різні застосування. Наприклад, F-розподіл Фішера-Снедекора використовується для порівняння різних моделей лінійної регресії, а цей розподіл ймовірностей використовується в дисперсійному аналізі (ANOVA).

➤ Див.: Характеристики розподілу Snedecor F

Експоненціальний розподіл

Експоненціальний розподіл — це безперервний розподіл ймовірностей, який використовується для моделювання часу очікування виникнення випадкового явища.

Точніше, експоненціальний розподіл дозволяє нам описати час очікування між двома подіями, який відповідає розподілу Пуассона. Тому експоненціальний розподіл тісно пов’язаний з розподілом Пуассона.

Експоненціальний розподіл має характерний параметр, представлений грецькою літерою λ, і вказує кількість разів, коли досліджувана подія має відбутися протягом певного періоду часу.

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

Подібним чином, експоненціальний розподіл також використовується для моделювання часу до появи збою. Отже, експоненціальний розподіл має декілька застосувань у теорії надійності та виживання.

➤ Див.: Характеристики експоненціального розподілу

Бета-розповсюдження

Бета-розподіл — це розподіл ймовірностей, визначений на інтервалі (0,1) і параметризований двома позитивними параметрами: α і β. Іншими словами, значення бета-розподілу залежать від параметрів α і β.

Таким чином, бета-розподіл використовується для визначення неперервних випадкових змінних, значення яких коливаються від 0 до 1.

Існує кілька позначень, які вказують на те, що безперервна випадкова змінна регулюється бета-розподілом, найпоширеніші:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

У статистиці бета-розповсюдження має дуже різноманітне застосування. Наприклад, бета-розподіл використовується для вивчення процентних змін у різних зразках. Так само в управлінні проектами бета-розповсюдження використовується для виконання аналізу Pert.

➤ Див.: Функції розповсюдження бета-версії

Гамма-розподіл

Гамма-розподіл — це безперервний розподіл ймовірностей, який визначається двома характерними параметрами, α і λ. Іншими словами, гамма-розподіл залежить від значення двох його параметрів: α — параметр форми та λ — параметр масштабу.

Символом гамма-розподілу є велика грецька літера Γ. Отже, якщо випадкова величина відповідає гамма-розподілу, вона записується так:

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

Гамма-розподіл також можна параметризувати за допомогою параметра форми k = α та параметра оберненого масштабу θ = 1/λ. У всіх випадках два параметри, які визначають гамма-розподіл, є позитивними дійсними числами.

Як правило, гамма-розподіл використовується для моделювання наборів даних зі зміщенням управо, щоб була більша концентрація даних у лівій частині графіка. Наприклад, гамма-розподіл використовується для моделювання надійності електричних компонентів.

➤ Див.: Характеристики гамма-розподілу

Розподіл Вейбулла

Розподіл Вейбулла є безперервним розподілом ймовірностей, який визначається двома характерними параметрами: параметром форми α і параметром масштабу λ.

У статистиці розподіл Вейбулла в основному використовується для аналізу виживання. Подібним чином розподіл Вейбулла має багато застосувань у різних сферах.

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

На думку авторів, розподіл Вейбулла також можна параметризувати трьома параметрами. Потім додається третій параметр, який називається пороговим значенням, який вказує абсцису, на якій починається графік розподілу.

Розподіл Вейбулла названо на честь шведа Валодді Вейбулла, який детально описав його в 1951 році. Однак розподіл Вейбулла був відкритий Морісом Фреше в 1927 році та вперше застосований Розіном і Раммлером у 1933 році.

➤ Див.: Характеристики розподілу Вейбулла

Розподіл Парето

Розподіл Парето — безперервний розподіл ймовірностей, який використовується в статистиці для моделювання принципу Парето. Таким чином, розподіл Парето є розподілом ймовірностей, який має кілька значень, ймовірність появи яких набагато вище, ніж інші значення.

Пам’ятайте, що закон Парето, також званий правилом 80-20, є статистичним принципом, який говорить, що більшість причин явища є причиною невеликої частини населення.

Розподіл Парето має два характерних параметри: параметр масштабу x _m і параметр форми α.

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

Спочатку розподіл Парето використовувався для опису розподілу багатства всередині населення, оскільки більша частина його була зумовлена невеликою часткою населення. Але в даний час розподіл Парето має багато застосувань, наприклад, в контролі якості, в економіці, в науці, в соціальній сфері і т.д.

➤ Див.: Характеристики розподілу Парето

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше