Вступ до розподілу релея

Розподіл Релея — це безперервний розподіл ймовірностей, який використовується для моделювання випадкових змінних , які можуть приймати значення, що дорівнюють або перевищують нуль.

Він має таку функцію щільності ймовірності:

f(x; σ) = (x/σ ² )e ^{-x 2 /(2σ 2 )}

де σ – масштабний параметр розподілу.

Властивості розподілу Релея

Розподіл Релея має такі властивості:

• Середнє: σ√ π/2
• Відхилення: ((4-π)/2)σ ²
• Режим: σ

Оскільки π має відоме числове значення, ми можемо спростити властивості наступним чином:

• Середнє: 1,253σ
• Відхилення: 0,429σ ²
• Режим: σ

Візуалізація розподілу Релея

На наступному графіку показано форму розподілу Релея, оскільки воно приймає різні значення для параметра масштабу:

Зауважте, що чим більше значення параметра масштабу σ, тим ширшим стає розподіл.

Бонус: для тих, кому цікаво, ми використали наступний код R для створення графіка вище:

 #load VGAM package
library (VGAM)

#create density plots
curve(drayleigh(x, scale = 0.5), from=0, to=10, col='green')
curve(drayleigh(x, scale = 1), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 2), from=0, to=10, col='blue', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 4), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)

#add legend
legend(6, 1, legend=c("σ=0.5", "σ=1", "σ=2", "σ=4"),
       col=c("green", "red", "blue", "purple"), lty=1, cex=1.2)

Зв’язок з іншими дистрибутивами

Розподіл Релея має таке співвідношення з іншими розподілами ймовірностей:

1. Коли параметр масштабу (σ) дорівнює 1, розподіл Релея дорівнює розподілу Хі-квадрат із 2 ступенями свободи.

2. Розподіл Релея є окремим випадком розподілу Вейбулла з параметром форми k = 2.

3. Розподіл Релея з параметром масштабу σ дорівнює розподілу Райса з Rice(0, σ).

Додатки

На практиці розподіл Релея використовується в різних програмах, зокрема:

1. Розподіл Релея використовується для моделювання поведінки хвиль в океані, включаючи час, який потрібен хвилям, щоб досягти свого гребня, і максимальну висоту, яку досягають хвилі.

2. Розподіл Релея використовується для моделювання поведінки фонових даних у магнітно-резонансній томографії, більш відомої як МРТ.

3. Розподіл Релея використовується в галузі харчування для моделювання взаємозв’язку між рівнями поживних речовин і реакцією на харчування у людей і тварин.

Додаткові ресурси

У наступних посібниках надається додаткова інформація про інші розподіли в статистиці:

Введення в нормальний розподіл
Введення в біноміальний розподіл
Введення в розподіл Пуассона