Стандартна помилка пропорції: формула та приклад

Часто в статистиці ми прагнемо оцінити частку особин у популяції з певною ознакою.

Наприклад, ми можемо захотіти оцінити частку жителів певного міста, які підтримують новий закон.

Замість того, щоб запитувати кожного мешканця, чи підтримує він закон, ми зібрали б просту випадкову вибірку та дізналися, скільки жителів у вибірці підтримують закон.

Потім ми обчислюємо пропорцію вибірки (p̂) наступним чином:

Приклад формули пропорції:

p̂ = x / n

золото:

• x: кількість осіб у вибірці з певною ознакою.
• n: Загальна кількість осіб у вибірці.

Потім ми використаємо цю пропорцію вибірки для оцінки частки населення. Наприклад, якщо 47 із 300 мешканців у вибірці підтримали новий закон, частка вибірки буде розрахована таким чином: 47/300 = 0,157 .

Це означає, що наша найкраща оцінка частки жителів у населенні, які підтримують закон, буде 0,157 .

Однак немає гарантії, що ця оцінка точно відповідатиме справжньому співвідношенню населення, тому зазвичай ми також обчислюємо стандартну помилку пропорції .

Це розраховується таким чином:

Стандартна похибка формули пропорції:

Стандартна похибка = √ p̂(1-p̂) / n

Наприклад, якщо p̂ = 0,157 і n = 300, тоді ми обчислимо стандартну помилку пропорції таким чином:

Стандартна похибка пропорції = √ 0,157(1-0,157) / 300 = 0,021

Потім ми зазвичай використовуємо цю стандартну помилку для розрахунку довірчого інтервалу для справжньої частки жителів, які підтримують закон.

Це розраховується таким чином:

Інтервал довіри для формули частки населення:

Довірчий інтервал = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n

Дивлячись на цю формулу, легко побачити, що чим більша стандартна помилка пропорції, тим ширший довірчий інтервал .

Зауважте, що z у формулі – це значення z, яке відповідає найпоширенішим виборам рівня достовірності:

Наприклад, ось як розрахувати 95% довірчий інтервал для справжньої частки жителів міста, які підтримують новий закон:

• 95% ДІ = p̂ +/- z*√ p̂(1-p̂) / n
• 95% ДІ = 0,157 +/- 1,96*√ 0,157(1-0,157) / 300
• 95% ДІ = 0,157 +/- 1,96*(0,021)
• 95% ДІ = [0,10884, 0,19816]

Отже, з 95% упевненістю можна сказати, що реальна частка жителів міста, які підтримують новий закон, становить від 10 884% до 19 816%.

Додаткові ресурси

Калькулятор стандартної похибки пропорції
Довірчий інтервал для калькулятора пропорції
Що таке частка населення?