Бета-розповсюдження

за Редакція 4 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке бета-розповсюдження та для чого воно використовується. Так само ви зможете побачити графік бета-розподілу та властивості цього типу розподілу ймовірностей.

Що таке бета-розповсюдження?

Бета-розподіл — це розподіл ймовірностей, визначений на інтервалі (0,1) і параметризований двома позитивними параметрами: α і β. Іншими словами, значення бета-розподілу залежать від параметрів α і β.

Отже, головною особливістю бета-розподілу є те, що його формою можна керувати параметрами α і β. Крім того, бета-розподіл використовується для визначення випадкових змінних, значення яких становить від 0 до 1.

Існує кілька позначень, які вказують на те, що безперервна випадкова змінна регулюється бета-розподілом, найпоширеніші:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

У статистиці бета-розповсюдження має дуже різноманітне застосування. Наприклад, бета-розподіл використовується для вивчення варіацій у відсотках у різних зразках. Так само в управлінні проектами бета-розповсюдження використовується для виконання аналізу Pert.

Діаграма розподілу бета-версії

Враховуючи визначення бета-розподілу, функція щільності та функція розподілу ймовірностей бета-розподілу зображені нижче.

Нижче ви можете побачити, як змінюється графік функції густини бета-розподілу в залежності від параметрів α і β.

Так само нижче ви можете побачити графічне представлення кумулятивної ймовірності бета-розподілу на основі параметрів α і β.

Характеристика бета-розподілу

У цьому розділі ми побачимо, які найважливіші характеристики бета-версії.

Параметри α і β бета-розподілу є дійсними і додатними числами.

$\begin{array}{c}\alpha >0\\[2ex] \beta >0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”54″ width=”44″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <ul> <li> Область бета-розподілу коливається від 0 до 1, два крайні значення не враховуються.</li> </ul> <p class=$ $x\in (0,1)$

Середнє значення бета-розподілу дорівнює альфа, поділеному на суму альфа плюс бета.

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] E[X]=\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{array}$

Дисперсію бета-розподілу можна обчислити за такою формулою:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] Var(X)=\cfrac{\alpha\cdot \beta}{(\alpha+\beta+1)\cdot (\alpha+\beta)^2}\end{array}$

Для значень альфа і бета більше 1 режим розподілу бета можна легко знайти за допомогою наступного виразу:

$Mo=\cfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\qquad \alpha,\beta>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”42″ width=”225″ style=”vertical-align: -16px;”></p> </p> <ul> <li> Функція щільності бета-розподілу має такий вигляд:</li> </ul> <p class=$ $\displaystyle P[X=x]=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

Де B(α,β) є бета-функцією, яка визначається як:

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$

Кумулятивна функція ймовірності бета-розподілу:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{B(x;\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)}$

Де B(x;α,β) є неповною бета-функцією, визначеною як:

$\displaystyle B(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt$

Якщо X є змінною, визначеною бета-розподілом, тоді 1-X є змінною, визначеною бета-розподілом, альфа- та бета-параметри якої є бета- та альфа-параметрами вихідного бета-розподілу відповідно.

$X\sim B(\alpha,\beta) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ 1-X\sim B(\beta,\alpha)$

Якщо обидва альфа- та бета-параметри бета-розподілу дорівнюють 1, тоді розподіл еквівалентний рівномірному розподілу параметрів 0 і 1.

$X\sim B(1,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim U(0,1)$

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке бета-розповсюдження?

Діаграма розподілу бета-версії

Характеристика бета-розподілу

Про автора

Редакція

Додати коментар