Гіпотеза постійної дисперсії: визначення та приклад

Лінійна регресія – це техніка, яку ми використовуємо для кількісного визначення зв’язку між однією або декількома змінними прогнозу та змінною відповіді .

Одним із ключових припущень лінійної регресії є те, що залишки мають постійну дисперсію на кожному рівні змінної (змінних) предиктора.

Якщо це припущення не перевірено, залишки будуть страждати від гетероскедастичності . Коли це відбувається, оцінки коефіцієнтів моделі стають ненадійними.

Як оцінити постійну дисперсію

Найпоширеніший спосіб визначити, чи мають залишки регресійної моделі постійну дисперсію, полягає в створенні графіка підігнаних значень проти залишків .

Це тип графіка, який відображає підігнані значення регресійної моделі вздовж осі X і залишки цих значень, підігнані вздовж осі Y.

Якщо розподіл залишків приблизно однаковий на кожному рівні підігнаних значень, ми говоримо, що припущення постійної дисперсії виконано.

В іншому випадку, якщо дисперсія залишків систематично збільшується або зменшується, це припущення, швидше за все, порушується.

Примітка . Цей тип графіка можна створити лише після підгонки регресійної моделі до набору даних.

На наступній діаграмі показано приклад графіка підігнаних значень проти залишків, який відображає постійну дисперсію :

Зверніть увагу на те, як залишки випадковим чином розкидані навколо нуля, без певної моделі, з приблизно постійною дисперсією на кожному рівні підігнаних значень.

На наступній діаграмі показано приклад графіка підігнаних значень проти залишків, який відображає непостійну дисперсію :

Зауважте, що розподіл залишків стає більшим із збільшенням підігнаних значень. Це типова ознака непостійної дисперсії.

Це говорить нам про те, що наша модель регресії страждає від непостійної дисперсії в залишках і що оцінки коефіцієнтів моделі тому ненадійні.

Як виправити порушення постійної дисперсії

Якщо припущення постійної дисперсії порушується, найпоширенішим способом вирішення цієї проблеми є перетворення змінної відповіді за допомогою одного з трьох перетворень:

1. Перетворення журналу: перетворення змінної відповіді з y на log(y)

2. Перетворення квадратного кореня: перетворення змінної відповіді з y на √y

3. Перетворення кубічного кореня: перетворення змінної відповіді з y на y ^1/3

Виконуючи ці перетворення, проблема непостійної дисперсії загалом зникає.

Додаткові ресурси

У наступних посібниках надається додаткова інформація про лінійну регресію та залишковий аналіз.

Вступ до простої лінійної регресії
Вступ до множинної лінійної регресії
Чотири припущення лінійної регресії
Що таке залишки в статистиці?