Розподіл риби

за Редакція 3 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке розподіл Пуассона в статистиці та для чого він використовується. Отже, ви знайдете визначення розподілу Пуассона, приклади розподілів Пуассона та їх властивості. Нарешті, ви зможете розрахувати будь-яку ймовірність розподілу Пуассона за допомогою онлайн-калькулятора.

Що таке розподіл Пуассона?

Розподіл Пуассона — це розподіл ймовірностей, який визначає ймовірність певної кількості подій, що відбуваються протягом певного періоду часу.

Іншими словами, розподіл Пуассона використовується для моделювання випадкових змінних, які описують кількість повторень явища в інтервалі часу.

Розподіл Пуассона має характерний параметр, представлений грецькою літерою λ і вказує кількість разів, коли досліджувана подія очікується, що відбудеться протягом заданого інтервалу.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Загалом, розподіл Пуассона використовується для статистичного моделювання подій з дуже низькою ймовірністю виникнення. Нижче ви можете побачити кілька прикладів цього типу розподілу ймовірностей.

Приклади розподілу Пуассона

Ознайомившись із визначенням розподілу Пуассона, ось кілька прикладів розподілу Пуассона.

Приклади розподілу Пуассона:

Кількість людей, які заходять в магазин за одну годину.
Кількість транспортних засобів, які перетинають кордон між двома країнами за місяць.
Кількість користувачів, які відвідують веб-сторінку за день.
Кількість бракованих деталей, вироблених заводом за день.
Кількість дзвінків, які приймає телефонна станція за хвилину.

Формула розподілу риби

У розподілі Пуассона ймовірність виникнення подій x дорівнює числу e у степені -λ , помноженому на λ у степені x і поділеному на факторіал x .

Отже, формула для обчислення ймовірності розподілу Пуассона :

👉 Ви можете скористатися калькулятором нижче, щоб обчислити ймовірність змінної, яка відповідає розподілу Пуассона.

Оскільки розподіл Пуассона є дискретним розподілом ймовірностей, щоб визначити кумулятивну ймовірність, ви повинні знайти ймовірності всіх значень до відповідного значення, а потім додати всі обчислені ймовірності.

Розв’язана вправа на розподіл Пуассона

Кількість товарів, проданих брендом, відповідає розподілу Пуассона λ=5 одиниць/день. Яка ймовірність того, що за день ви продали лише 7 одиниць? А ймовірність того, що за один день ви продали 3 одиниці або менше?

Щоб отримати різні ймовірності, яких вимагає задача, ми повинні застосувати формулу розподілу Пуассона (див. вище). Отже, використовуючи цю формулу, ми розраховуємо ймовірність продажу 7 одиниць за один день:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

По-друге, нас просять визначити кумулятивну ймовірність продажу 3 або менше одиниць. Тому, щоб знайти цю ймовірність, нам потрібно обчислити ймовірність продажу 1 одиниці, 2 одиниць і 3 одиниць окремо, а потім скласти їх разом.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

Тому ми спочатку обчислюємо кожну ймовірність окремо:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

Далі ми додаємо три обчислені ймовірності, щоб визначити ймовірність продажу трьох або менше одиниць за день.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

Характеристика розподілу Пуассона

У цьому розділі ми побачимо, які характеристики має розподіл Пуассона.

Розподіл Пуассона визначається єдиним характеристичним параметром λ, який вказує кількість разів, коли досліджувана подія має відбутися протягом певного періоду часу.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Середнє значення розподілу Пуассона дорівнює його характерному параметру λ.

$E[X]=\lambda$

Подібним чином, дисперсія розподілу Пуассона еквівалентна його характерному параметру λ.

$Var(X)=\lambda$

Якщо λ є цілим числом, режим розподілу Пуассона є бімодальним і його значення дорівнюють λ і λ-1. Натомість, якщо λ не є цілим числом, режим розподілу Пуассона є найбільшим цілим числом, меншим або рівним λ.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

Конкретної формули для визначення медіани розподілу Пуассона немає, але можна знайти його інтервал:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

Функція ймовірності розподілу Пуассона має такий вигляд:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

Додавання незалежних випадкових величин Пуассона призводить до отримання іншої випадкової величини Пуассона, характерним параметром якої є сума параметрів вихідних змінних.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

Біноміальний розподіл можна апроксимувати як розподіл Пуассона, якщо загальна кількість спостережень достатньо велика (n≥100), причому λ є добутком двох характерних параметрів біноміального розподілу.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ Див.: Характеристики біноміального розподілу

Калькулятор розподілу риби

Вставте значення параметра λ і значення x у калькулятор нижче, щоб обчислити ймовірність. Вам потрібно вибрати ймовірність, яку ви хочете обчислити, і ввести числа, використовуючи крапку як десятковий роздільник, наприклад 0,1667.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше