Z-перетворення фішера: визначення та приклад

Перетворення Фішера Z — це формула, за допомогою якої ми можемо перетворити коефіцієнт кореляції Пірсона (r) у значення (z _r ), яке можна використовувати для обчислення довірчого інтервалу для коефіцієнта кореляції Пірсона.

Формула така:

z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2

Наприклад, якщо коефіцієнт кореляції Пірсона між двома змінними виявляється r = 0,55, тоді ми обчислюємо _zr як:

• z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2
• z _r = ln((1+.55) / (1-.55)) / 2
• z _r = 0,618

Виявляється, розподіл вибірки цієї перетвореної змінної відповідає нормальному розподілу .

Це важливо, оскільки дозволяє обчислити довірчий інтервал для коефіцієнта кореляції Пірсона.

Без виконання цього Z-перетворення Фішера ми не зможемо обчислити надійний довірчий інтервал для коефіцієнта кореляції Пірсона.

У наступному прикладі показано, як на практиці розрахувати довірчий інтервал для коефіцієнта кореляції Пірсона.

Приклад: обчислення довірчого інтервалу для коефіцієнта кореляції

Припустимо, ми хочемо оцінити коефіцієнт кореляції між зростом і вагою жителів певного округу. Ми вибираємо випадкову вибірку з 60 жителів і знаходимо таку інформацію:

• Обсяг вибірки n = 60
• Коефіцієнт кореляції між зростом і вагою r = 0,56

Ось як знайти 95% довірчий інтервал для коефіцієнта кореляції сукупності:

Крок 1: Виконайте перетворення Фішера.

Нехай z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2 = ln((1+.56) / (1-.56)) / 2 = 0,6328

Крок 2: Знайдіть верхню та нижню межі журналу.

Нехай L = z _r – (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 – (1,96 /√ 60-3 ) = 0,373

Нехай U = z _r + (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 + (1,96 /√ 60-3 ) = 0,892

Крок 3: Знайдіть довірчий інтервал.

Довірчий інтервал = [(e ^2L -1)/(e ^2L +1), (e ^2U -1)/(e ^2U +1)]

Довірчий інтервал = [(e ^2(.373) -1)/(e ^2(.373) +1), (e ^2(.892) -1)/(e ^2(.892) +1)] = [ .3568, .7126]

Примітка. Ви також можете знайти цей довірчий інтервал за допомогою довірчого інтервалу для калькулятора коефіцієнта кореляції .

Цей інтервал дає нам діапазон значень, який, ймовірно, міститиме справжній коефіцієнт кореляції Пірсона між вагою та розміром популяції з високим рівнем достовірності.

Зверніть увагу на важливість перетворення Фішера Z: це був перший крок, який нам потрібно було виконати, перш ніж ми зможемо фактично обчислити довірчий інтервал.

Додаткові ресурси

Введення в коефіцієнт кореляції Пірсона
П’ять гіпотез кореляції Пірсона
Як вручну обчислити коефіцієнт кореляції Пірсона