Як знайти ймовірність «не менше трьох» успіх

Ми можемо використати наступну загальну формулу, щоб знайти ймовірність принаймні трьох успіхів у серії випробувань:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

У наведеній вище формулі ми можемо обчислити кожну ймовірність за такою формулою для біноміального розподілу :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

золото:

• n: кількість випробувань
• k: кількість успіхів
• p: ймовірність успіху в даному випробуванні
• _n C _k : кількість способів отримати k успіхів у n випробуваннях

У наведених нижче прикладах показано, як використовувати цю формулу для визначення ймовірності «принаймні трьох» успіхів у різних сценаріях.

Приклад 1: Штрафні кидки

Тай виконує 25% своїх спроб штрафних кидків. Якщо він виконує 5 штрафних кидків, знайдіть ймовірність того, що він зробить принаймні три.

Спочатку давайте обчислимо ймовірність того, що він зробить рівно нуль, рівно один або рівно два штрафних кидки:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,25 ² * (1-0,25) ^5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 ³ = 0,2636

Далі підключимо ці значення до наступної формули, щоб знайти ймовірність того, що Тай виконає принаймні три штрафні кидки:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
• P(X≥3) = 0,1036

Імовірність того, що Тай зробить принаймні три штрафні кидки з п’яти спроб, дорівнює 0,1036 .

Приклад 2: Віджети

На даній фабриці 2% усіх віджетів є несправними. У випадковій вибірці з 10 віджетів визначте ймовірність того, що принаймні два є несправними.

По-перше, давайте обчислимо ймовірність того, що рівно нуль, рівно одиниця або рівно дві дефектні:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0,02 ² * (1-0,02) ^10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 ⁸ = 0,0153

Далі підключимо ці значення до такої формули, щоб знайти ймовірність того, що щонайменше три віджети несправні:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
• P(X≥3) = 0,0009

Імовірність того, що принаймні три віджети є несправними в цій випадковій вибірці з 10, становить 0,0009 .

Приклад 3: дрібниці

Боб правильно відповідає на 60% простих питань. Якщо ми поставимо йому 5 простих запитань, знайдіть ймовірність того, що він відповість принаймні на три правильних.

Спочатку давайте обчислимо ймовірність того, що він відповість точно нуль, рівно один чи рівно два правильно:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,60 ² * (1-0,60) ^5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 ³ = 0,2304

Далі підключимо ці значення до наступної формули, щоб знайти ймовірність того, що він відповість принаймні на три запитання правильно:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
• P(X≥3) = 0,6826

Імовірність того, що він відповість правильно принаймні на три запитання з п’яти, становить 0,6826 .

Бонус: ймовірність принаймні трьох калькуляторів

Використовуйте цей калькулятор, щоб автоматично знайти ймовірність «принаймні трьох» успіхів на основі ймовірності успіху в певному випробуванні та загальної кількості випробувань.