Оцінка параметрів

за Редакція 2 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке оцінка параметрів у статистиці. Таким чином, ви дізнаєтеся, як параметр оцінюється в статистиці, різні типи оцінок і приклади оцінок параметрів.

Що таке оцінка параметрів?

Оцінка параметрів — це статистичний метод оцінки значення параметра сукупності за вибіркою. Тобто в статистиці оцінка параметра використовується для наближення параметра сукупності шляхом виконання обчислень із вибірками даних.

Загалом, параметри популяції невідомі, і вона, як правило, занадто велика, щоб вивчати всіх її особин. Таким чином, береться вибірка сукупності, ця вибірка статистично аналізується і, нарешті, отримані результати виводяться з усієї сукупності. Таким чином, оцінка статистичних параметрів дозволяє мати приблизне уявлення про значення параметрів сукупності.

При оцінці параметра завжди є похибка. Оскільки справжнє значення параметра сукупності зазвичай невідоме, при оцінці параметра робиться наближення, і, отже, може виникнути розбіжність між справжнім значенням і наближеним значенням.

Види оцінок параметрів

У статистиці існує два типи оцінок параметрів :

Оцінка конкретного параметра : передбачає оцінку значення параметра сукупності до певного значення. Як правило, значення параметра вибірки використовується як оцінка параметра сукупності.
Оцінка параметрів за інтервалами : заснована на оцінці параметра сукупності з інтервалом. Отже, замість наближення параметра сукупності до одного значення, він наближає діапазон значень.

Точкова оцінка є більш точною, ніж інтервальна, оскільки вона зводить наближення до єдиного значення. Однак інтервальна оцінка є більш надійною, оскільки справжнє значення параметра з більшою ймовірністю буде лежати в межах інтервалу, ніж визначення його точного значення за допомогою точкової оцінки.

➤ Див.: Приклад точкової оцінки
➤ Див.: Приклад інтервальної оцінки

Бальна оцінка

Точкова оцінка передбачає оцінку точного значення параметра генеральної сукупності за вибірковими даними. Тобто точкова оцінка надає конкретне значення параметра генеральної сукупності, використовуючи вибіркове значення параметра як еталон.

Наприклад, щоб визначити середнє значення популяції з 1000 осіб, ми можемо зробити точкову оцінку та обчислити значення середнього для вибірки з 50 осіб. Тому ми можемо прийняти значення вибіркового середнього як точкову оцінку середнього сукупності.

Таким чином, оцінювач — це вибіркова статистика, яка використовується для оцінки значення параметра сукупності. Таким чином, значення параметра вибірки розглядається як оцінка значення параметра сукупності.

➤ Див.: Характеристики хорошого оцінювача

Інтервал оцінки

Інтервальна оцінка передбачає оцінку значення параметра сукупності за допомогою інтервалу. Точніше, інтервальна оцінка передбачає обчислення інтервалу, в якому значення параметра, найімовірніше, впаде з певним рівнем довіри.

Наприклад, якщо в інтервальній оцінці ми робимо висновок, що довірчий інтервал для середнього сукупності становить (3,7) з рівнем довіри 95%, це означає, що середнє значення досліджуваної сукупності буде між 3 і 7 з імовірністю 95 %.

Інтервал, який забезпечує інтервальну оцінку, називається довірчим інтервалом. Таким чином, довірчий інтервал – це інтервал, який дає оцінку з похибкою значень, між якими знаходиться значення параметра генеральної сукупності. Коротше кажучи, довірчий інтервал – це результат, отриманий з інтервальної оцінки. Для розрахунку довірчого інтервалу інтервальної оцінки необхідно застосувати відповідну формулу:

➤ Див.: Формула для довірчого інтервалу

Приклад оцінки параметра

Ознайомившись із визначенням оцінки параметрів і різними типами оцінок параметрів, ми побачимо приклад того, як можна оцінити параметр сукупності.

У дослідженні ринку ми хочемо визначити середню ціну навушників. Однак моделей так багато, що вивчити ціну на всі неможливо, тому вирішено взяти вибірку з п’яти брендів, які продали найбільше навушників у минулому році (дані представлені нижче). Оцінка середньої ціни населення періодично та з інтервалами.

25 8 14 19 12

Щоб точно оцінити середнє значення сукупності, просто обчисліть середнє значення вибіркових даних. Отже, застосовуємо середнє арифметичне формула:

$\overline{x}=\cfrac{25+8+14+19+12}{5}=15,6$

Однак ми будемо оцінювати за інтервалами з рівнем довіри 95%, оскільки це найпоширеніший рівень довіри. Таким чином, для проведення інтервальної оцінки необхідно застосувати формулу для довірчого інтервалу для середнього :

$(7,43 \ , \ 23,77 )$

Помилка оцінки

На практиці дуже важко зробити точну оцінку справжнього значення параметра, тому в оцінці часто виникає похибка. За логікою ми повинні намагатися мінімізувати помилку оцінки.

Таким чином, якщо ми знаємо значення параметра сукупності, ми можемо обчислити похибку оцінки, яка визначається як різниця між оціненим значенням і справжнім значенням параметра.

$e=\widehat{\theta}-\theta$

золото

$\widehat{\theta}$

є значення кошторису і

$\theta$

є фактичним значенням параметра.

Ви також можете обчислити середню квадратичну помилку (MSE), яка є середнім значенням квадратів помилок. Слід зазначити, що середня квадратична помилка представляє дисперсію оцінювача.

$\displaystyle ECM=\cfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\widehat{\theta}-\theta \right)^2$

Коли справжнє значення параметра сукупності невідоме, що є найпоширенішим випадком, зазвичай проводиться перевірка гіпотези, щоб перевірити, чи правильна оцінка.

➤ Дивіться: Що таке перевірка гіпотези?

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше