Як обчислити довірчі інтервали: 3 приклади задач

Довірчий інтервал для середнього — це діапазон значень, який, ймовірно, міститиме середнє значення сукупності з певним рівнем довіри.

Ми використовуємо таку формулу, щоб обчислити довірчий інтервал для середнього:

Довірчий інтервал = x +/- t*(s/√ n )

золото:

• x : вибіркове середнє
• t: критичне значення t
• s: вибіркове стандартне відхилення
• n: розмір вибірки

Примітка : ми замінюємо критичне значення на критичне значення az у формулі, якщо відоме стандартне відхилення сукупності (σ) і розмір вибірки перевищує 30.

У наведених нижче прикладах показано, як побудувати довірчий інтервал для середнього в трьох різних сценаріях:

• Стандартне відхилення сукупності (σ) невідоме
• Стандартне відхилення сукупності (σ) відоме, але n ≤ 30
• Стандартне відхилення сукупності (σ) відоме, а n > 30

Ходімо!

Приклад 1: довірчий інтервал, коли σ невідомий

Припустімо, ми хочемо обчислити 95% довірчий інтервал для середньої висоти (у дюймах) певного виду рослин.

Припустимо, ми збираємо просту випадкову вибірку з такою інформацією:

• вибіркове середнє ( x ) = 12
• розмір вибірки (n) = 19
• стандартне відхилення вибірки (s) = 6,3

Ми можемо використати наступну формулу для побудови цього довірчого інтервалу:

• 95% ДІ = x +/- t*(s/√ n )
• 95% ДІ = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6,3/√ 19 )
• 95% ДІ = 12 +/- t _18,025 *(6,3/√ 19 )
• 95% ДІ = 12 +/- 2,1009*(6,3/√ 19 )
• 95% ДІ = (8964, 15037)

95% довірчий інтервал для середньої висоти популяції для цього конкретного виду рослин становить (8,964 дюйма, 15,037 дюйма) .

Примітка №1 : ми використали калькулятор оберненого розподілу t, щоб знайти критичне значення t, пов’язане з 18 ступенями свободи та рівнем довіри 0,95.

Примітка №2 : Оскільки стандартне відхилення сукупності (σ) невідоме, ми використовували критичне значення t під час розрахунку довірчого інтервалу.

Приклад 2: Довірчий інтервал, коли σ відомий, але n ≤ 30

Припустімо, ми хочемо обчислити 99% довірчий інтервал для середнього балу певного вступного іспиту до коледжу.

Припустимо, ми збираємо просту випадкову вибірку з такою інформацією:

• вибіркове середнє ( x ) = 85
• розмір вибірки (n) = 25
• стандартне відхилення популяції (σ) = 3,5

Ми можемо використати наступну формулу для побудови цього довірчого інтервалу:

• 99% ДІ = x +/- t*(s/√ n )
• 99% ДІ = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3,5/√ 25 )
• 99% ДІ = 85 +/- t _24,005 *(3,5/√ 25 )
• 99% ДІ = 85 +/- 2,7969*(3,5/√ 25 )
• 99% ДІ = (83,042, 86,958)

99% довірчий інтервал для середнього балу населення на цьому вступному іспиті до коледжу становить (83,042, 86,958) .

Примітка №1 : ми використали калькулятор оберненого t-розподілу, щоб знайти критичне значення t, пов’язане з 24 ступенями свободи та рівнем довіри 0,99.

Примітка №2 : Оскільки стандартне відхилення сукупності (σ) було відоме, але розмір вибірки (n) був меншим за 30, ми використали критичне значення t під час розрахунку довірчого інтервалу.

Приклад 3: Довірчий інтервал, коли σ відомий і n > 30

Припустимо, ми хочемо обчислити 90% довірчий інтервал для середньої ваги певного виду черепах.

Припустимо, ми збираємо просту випадкову вибірку з такою інформацією:

• вибіркове середнє ( x ) = 300
• розмір вибірки (n) = 40
• стандартне відхилення сукупності (σ) = 15

Ми можемо використати наступну формулу для побудови цього довірчого інтервалу:

• 90% ДІ = x +/- z*(σ/√ n )
• 90% ДІ = 300 +/- 1,645*(15/√ 40 )
• 90% ДІ = (296 099, 303 901)

90% довірчий інтервал для середньої маси популяції цього конкретного виду черепах становить (83,042, 86,958) .

Примітка №1 : ми використали калькулятор критичного значення Z, щоб знайти критичне значення z, пов’язане з рівнем значущості 0,1.

Примітка №2 : оскільки стандартне відхилення сукупності (σ) було відоме, а розмір вибірки (n) був більшим за 30, ми використовували критичне значення z під час розрахунку довірчого інтервалу.

Додаткові ресурси

Наступні посібники надають додаткову інформацію про довірчі інтервали:

4 приклади довірчих інтервалів у реальному житті
Як написати висновок про довірчий інтервал
6 гіпотез довірчого інтервалу для перевірки