Довірчий інтервал для різниці середніх значень

Довірчий інтервал (ДІ) для різниці між середніми – це діапазон значень, який, імовірно, містить справжню різницю між двома середніми сукупностями з певним рівнем довіри.

Цей посібник пояснює наступне:

• Мотивація створити цей довірчий інтервал.
• Формула для створення цього довірчого інтервалу.
• Приклад того, як розрахувати цей довірчий інтервал.
• Як інтерпретувати цей довірчий інтервал.

CI для різниці між засобами: мотивація

Дослідники часто хочуть оцінити різницю між середніми значеннями двох сукупностей. Щоб оцінити цю різницю, вони зберуть випадкову вибірку з кожної сукупності та обчислять середнє значення для кожної вибірки. Потім вони можуть порівняти різницю між двома середніми значеннями.

Однак вони не можуть напевно знати, чи відповідає різниця між середніми вибіркою істинній різниці між середніми сукупністю. Ось чому вони можуть створити довірчий інтервал для різниці між двома середніми значеннями. Це забезпечує діапазон значень, який, імовірно, міститиме справжню різницю між середніми сукупностями.

Наприклад, припустімо, що ми хочемо оцінити різницю в середній вазі між двома різними видами черепах. Оскільки в кожній популяції є тисячі черепах, було б надто довго і дорого ходити й зважувати кожну черепаху окремо.

Натомість ми могли б взяти просту випадкову вибірку з 15 черепах із кожної популяції та використати середню вагу кожної вибірки, щоб оцінити справжню різницю в середній вазі між двома популяціями:

Проблема полягає в тому, що наші вибірки є випадковими, тому немає гарантії, що різниця в середній вазі між двома зразками точно збігається з різницею в середній вазі між двома сукупностями. Отже, щоб зафіксувати цю невизначеність, ми можемо створити довірчий інтервал, що містить діапазон значень, які, ймовірно, містять справжню різницю в середній вазі між двома сукупностями.

CI для різниці між засобами: формула

Ми використовуємо таку формулу, щоб обчислити довірчий інтервал для різниці між двома середніми значеннями:

Довірчий інтервал = ( x ₁ – x ₂ ) +/- t*√ ((s _p ² /n ₁ ) + (s _p ² /n ₂ ))

золото:

• x ₁ , x ₂ : середнє значення зразка 1, середнє значення зразка 2
• t: t-критичне значення на основі рівня довіри та (n ₁ + n ₂ -2) ступенів свободи
• s _p ² : об’єднана дисперсія
• n ₁ , n ₂ : розмір вибірки 1, розмір вибірки 2

золото:

• Об’єднана дисперсія обчислюється таким чином: s _p ² = ((n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² ) / (n ₁ +n ₂ -2)
• t-критичне значення t можна знайти за допомогою калькулятора оберненого t-розподілу.

CI для різниці між засобами: приклад

Припустімо, ми хочемо оцінити різницю в середній вазі між двома різними видами черепах. Тому ми зберемо випадкову вибірку з 15 черепах з кожної популяції. Ось підсумкові дані для кожного зразка:

Зразок 1:

• х1 = ₃₁₀
• s ₁ = 18,5
• n ₁ = 15

Зразок 2:

• х2 ₌ 300
• _s2 = 16,4
• _n2 = 15

Ось як знайти різні довірчі інтервали для справжньої різниці середніх ваг сукупності:

90% довірчий інтервал:

(310-300) +/- 1,70*√((305,61/15) + (305,61/15)) = [-0,8589, 20,8589]

95% довірчий інтервал:

(310-300) +/- 2,05*√((305,61/15) + (305,61/15)) = [-3,0757, 23,0757]

99% довірчий інтервал:

(310-300) +/- 2,76*√((305,61/15) + (305,61/15)) = [-7,6389, 27,6389]

Примітка. Ви також можете знайти ці довірчі інтервали за допомогою калькулятора статистичного довірчого інтервалу для різниці між середніми значеннями .

Ви помітите, що чим вищий рівень довіри, тим ширший довірчий інтервал. Це повинно мати сенс, оскільки ширші інтервали з більшою ймовірністю містять справжнє середнє значення сукупності, тому ми більш «впевнені», що інтервал містить справжнє середнє значення сукупності.

CI для різниці між засобами : інтерпретація

Спосіб інтерпретації довірчого інтервалу такий:

З імовірністю 95% довірчий інтервал [-3,0757, 23,0757] містить справжню різницю в середній вазі між двома популяціями черепах.

Оскільки цей інтервал містить значення «0», це означає, що, можливо, немає різниці в середній вазі між черепахами з цих двох популяцій. Іншими словами, ми не можемо з 95% упевненістю сказати, що черепахи з цих двох популяцій відрізняються у середній вазі.