Довірчий інтервал для різниці в пропорціях

Довірчий інтервал (ДІ) для різниці в пропорціях — це діапазон значень, який, імовірно, містить справжню різницю між двома пропорціями населення з певним рівнем довіри.

Цей посібник пояснює наступне:

• Мотивація створити цей довірчий інтервал.
• Формула для створення цього довірчого інтервалу.
• Приклад того, як розрахувати цей довірчий інтервал.
• Як інтерпретувати цей довірчий інтервал.

ДІ для різниці в пропорціях: мотивація

Дослідники часто хочуть оцінити різницю між двома частками населення. Щоб оцінити цю різницю, вони зберуть випадкову вибірку з кожної популяції та обчислять пропорцію для кожної вибірки. Потім вони можуть порівняти різницю між двома пропорціями.

Однак вони не можуть знати напевно, чи відповідає різниця між пропорціями вибірки справжній різниці між пропорціями сукупності. Ось чому вони можуть створити довірчий інтервал для різниці між двома пропорціями. Це надає діапазон значень, які ймовірно містять справжню різницю між пропорціями населення.

Наприклад, припустімо, що ми хочемо оцінити різницю між часткою жителів, які підтримують певний закон в графстві A, і часткою тих, хто підтримує закон в графстві B.

Оскільки в кожному окрузі проживають тисячі мешканців, було б надто довго і дорого об’їжджати й опитувати кожного окремого жителя кожного округу.

Замість цього ми могли б взяти просту випадкову вибірку жителів кожного округу та використати пропорцію на користь закону в кожній вибірці, щоб оцінити справжню різницю в пропорціях між двома округами:

Оскільки наші вибірки є випадковими, не можна гарантувати, що різниця в пропорціях між двома вибірками точно відповідає різниці в пропорціях між двома сукупностями. Отже, щоб зафіксувати цю невизначеність, ми можемо створити довірчий інтервал, що містить діапазон значень, які, ймовірно, містять справжню різницю в пропорціях між двома сукупностями.

ДІ для різниці пропорцій: формула

Ми використовуємо таку формулу, щоб обчислити довірчий інтервал для різниці між двома пропорціями населення:

Довірчий інтервал = (p ₁ –p ₂ ) +/- z*√(p ₁ (1-p ₁ )/n ₁ + p ₂ (1-p ₂ )/n ₂ )

золото:

• p ₁ , p ₂ : частка зразка 1, частка зразка 2
• z: z-критичне значення на основі рівня довіри
• n ₁ , n ₂ : розмір вибірки 1, розмір вибірки 2

Значення z, яке ви використовуєте, залежить від вибраного рівня достовірності. У наведеній нижче таблиці показано значення z, яке відповідає найпоширенішим виборам рівня достовірності:

Зверніть увагу, що вищі рівні довіри відповідають більшим значенням z, що призводить до ширших довірчих інтервалів. Це означає, що, наприклад, 95% довірчий інтервал буде ширшим, ніж 90% довірчий інтервал для того самого набору даних.

CI для різниці в пропорціях: приклад

Припустімо, ми хочемо оцінити різницю між часткою жителів, які підтримують певний закон в окрузі А, порівняно з пропорцією тих, хто підтримує закон в окрузі Б. Ось зведені дані для кожної вибірки:

Зразок 1:

• n ₁ = 100
• p ₁ = 0,62 (тобто 62 мешканці зі 100 підтримують закон)

Зразок 2:

• _n2 = 100
• p ₂ = 0,46 (тобто 46 мешканців зі 100 підтримують закон)

Ось як знайти різні довірчі інтервали для різниці в пропорціях населення:

90% довірчий інтервал:

(0,62-0,46) +/- 1,645*√(0,62(1-0,62)/100 + 0,46(1-0,46)/100) = [0,0456, 0,2744]

95% довірчий інтервал:

(0,62-0,46) +/- 1,96*√(0,62(1-0,62)/100 + 0,46(1-0,46)/100) = [0,0236, 0,2964]

99% довірчий інтервал:

(0,62-0,46) +/- 2,58*√(0,62(1-0,62)/100 + 0,46(1-0,46)/100) = [-0,0192, 0,3392]

Примітка. Ви також можете знайти ці довірчі інтервали за допомогою калькулятора довірчого інтервалу для різниці пропорцій .

CI для різниці в пропорціях : інтерпретація

Спосіб інтерпретації довірчого інтервалу:

Існує 95% ймовірність того, що довірчий інтервал [.0236, .2964] містить справжню різницю в частці жителів, які підтримують закон між двома округами.

Оскільки цей інтервал не містить значення «0», це означає, що дуже ймовірно, що існує справжня різниця у частці жителів, які підтримують цей закон у графстві А, порівняно з графством Б.