Що таке довірчі інтервали?

У статистиці ми часто зацікавлені у вимірюванні параметрів сукупності , тобто чисел, які описують певні характеристики цілої сукупності.

Два найпоширеніші параметри популяції:

1. Середня чисельність населення: середнє значення змінної в популяції (наприклад, середній зріст чоловіків у Сполучених Штатах)

2. Частка населення: частка змінної в сукупності (наприклад, частка жителів округу, які підтримують певний закон)

Навіть якщо ми хочемо виміряти ці параметри, як правило, збирати дані про кожну особину в популяції, щоб обчислити параметр популяції, зазвичай занадто дорого та довго.

Замість цього ми зазвичай беремо випадкову вибірку загальної сукупності та використовуємо дані вибірки для оцінки параметра сукупності.

Наприклад, скажімо, ми хочемо оцінити середню вагу певного виду черепах у Флориді. Оскільки у Флориді є тисячі черепах, було б дуже довго і дорого обходити і зважувати кожну черепаху окремо.

Замість цього ми можемо взяти просту випадкову вибірку з 50 черепах і використати середню вагу черепах у цій вибірці, щоб оцінити справжнє середнє значення популяції:

Проблема полягає в тому, що середня вага черепах у вибірці не гарантовано точно відповідає середній вазі черепах у всій популяції. Наприклад, ми можемо вибрати зразок, повний черепах малої ваги, або, можливо, зразок, повний важких черепах.

Щоб вловити цю невизначеність, ми можемо створити довірчий інтервал. Довірчий інтервал – це діапазон значень, який, ймовірно, містить параметр сукупності з певним рівнем довіри. Розраховується за такою загальною формулою:

Довірчий інтервал = (точкова оцінка) +/- (критичне значення)* (стандартна помилка)

Ця формула створює інтервал із нижньою межею та верхньою межею, який, імовірно, містить параметр сукупності з певним рівнем достовірності.

Довірчий інтервал = [нижня межа, верхня межа]

Наприклад, формула для обчислення довірчого інтервалу для середнього сукупності має вигляд:

Довірчий інтервал = x +/- z*(s/√ n )

золото:

• x : вибірка середніх
• z: вибране значення z
• s: вибіркове стандартне відхилення
• n: розмір вибірки

Значення z, яке ви використовуєте, залежить від вибраного рівня достовірності. У наведеній нижче таблиці показано значення z, яке відповідає найпоширенішим виборам рівня достовірності:

Наприклад, припустімо, що ми збираємо випадкову вибірку черепах із такою інформацією:

• Обсяг вибірки n = 25
• Середня маса зразка х = 300
• Стандартне відхилення вибірки s = 18,5

Ось як розрахувати 90% довірчий інтервал для справжньої середньої ваги сукупності:

90% довірчий інтервал: 300 +/- 1,645*(18,5/√25) = [293,91, 306,09]

Ми тлумачимо цей довірчий інтервал наступним чином:

Імовірність того, що довірчий інтервал [293,91, 306,09] містить справжню середню вагу популяції черепах, становить 90%.

Інший спосіб сказати те саме: існує лише 10% ймовірність того, що справжнє середнє значення сукупності лежить за межами 90% довірчого інтервалу. Тобто існує лише 10% ймовірність того, що фактична середня вага популяції черепах перевищує 306,09 фунтів або менше 293,91 фунтів.

Нічого не варто, що є два числа, які можуть вплинути на розмір довірчого інтервалу:

1. Розмір вибірки: чим більший розмір вибірки, тим вужчий довірчий інтервал.

2. Рівень довіри: чим вищий рівень довіри, тим ширший довірчий інтервал.

Типи довірчих інтервалів

Існує багато типів довірчих інтервалів. Ось найбільш часто використовувані:

Довірчий інтервал для середнього

Довірчий інтервал для середнього — це діапазон значень, який, ймовірно, міститиме середнє значення сукупності з певним рівнем довіри. Формула для обчислення цього інтервалу така:

Довірчий інтервал = x +/- z*(s/√ n )

золото:

• x : вибірка середніх
• z: вибране значення z
• s: вибіркове стандартне відхилення
• n: розмір вибірки

Ресурси:
Як розрахувати довірчий інтервал для середнього
Довірчий інтервал для середнього калькулятора

Довірчий інтервал для різниці середніх значень

Довірчий інтервал (ДІ) для різниці між середніми – це діапазон значень, який, імовірно, містить справжню різницю між двома середніми сукупностями з певним рівнем довіри. Формула для обчислення цього інтервалу така:

Довірчий інтервал = ( x ₁ – x ₂ ) +/- t*√ ((s _p ² /n ₁ ) + (s _p ² /n ₂ ))

золото:

• x ₁ , x ₂ : середнє значення зразка 1, середнє значення зразка 2
• t: t-критичне значення на основі рівня довіри та (n ₁ + n ₂ -2) ступенів свободи
• s _p ² : об’єднана дисперсія
• n ₁ , n ₂ : розмір вибірки 1, розмір вибірки 2

золото:

• Об’єднана дисперсія обчислюється таким чином: s _p ² = ((n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² ) / (n ₁ +n ₂ -2)
• t-критичне значення t можна знайти за допомогою калькулятора оберненого t-розподілу.

Ресурси:
Як розрахувати довірчий інтервал для різниці середніх
Довірчий інтервал для різниці між калькулятором середніх

Довірчий інтервал для пропорції

Довірчий інтервал для пропорції — це діапазон значень, який, ймовірно, міститиме пропорцію сукупності з певним рівнем достовірності. Формула для обчислення цього інтервалу така:

Довірчий інтервал = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

золото:

• p: частка зразка
• z: вибране значення z
• n: розмір вибірки

Ресурси:
Як розрахувати довірчий інтервал для пропорції
Довірчий інтервал для калькулятора пропорції

Довірчий інтервал для різниці в пропорціях

Довірчий інтервал для різниці в пропорціях – це діапазон значень, який, імовірно, містить справжню різницю між двома пропорціями сукупності з певним рівнем достовірності. Формула для розрахунку цього інтервалу така:

Довірчий інтервал = (p ₁ –p ₂ ) +/- z*√(p ₁ (1-p ₁ )/n ₁ + p ₂ (1-p ₂ )/n ₂ )

золото:

• p ₁ , p ₂ : частка зразка 1, частка зразка 2
• z: z-критичне значення на основі рівня довіри
• n ₁ , n ₂ : розмір вибірки 1, розмір вибірки 2

Ресурси:
Як розрахувати довірчий інтервал для різниці пропорцій
Калькулятор довірчого інтервалу для різниці пропорцій