Що таке функція ймовірної маси (pmf) у статистиці?

Функція маси ймовірності , часто скорочена PMF , повідомляє нам про ймовірність того, що дискретна випадкова змінна набуває певного значення.

Наприклад, припустімо, що ми один раз кидаємо кубик. Якщо ми позначимо x число, на яке падає кубик, то ймовірність того, що x дорівнює різним значенням, можна описати так:

• P(X=1): 1/6
• P(X=2): 1/6
• P(X=3): 1/6
• P(X=4): 1/6
• P(X=5): 1/6
• P(X=6): 1/6

Існує рівна ймовірність того, що кубик впаде на будь-яке число від 1 до 6.

Ось як ми запишемо ці ймовірності як функцію маси ймовірностей:

Ліва частина діаграми показує ймовірність, пов’язану з результатами на правій стороні:

Характеристика функції ймовірнісної маси полягає в тому, що сума всіх ймовірностей повинна дорівнювати 1. Ви помітите, що ця PMF задовольняє цю умову:

Сума ймовірностей = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

Підтримка функції маси ймовірності відноситься до набору значень, які може приймати дискретна випадкова величина. У цьому прикладі опорою буде {1, 2, 3, 4, 5, 6}, оскільки значення кубика може мати будь-яке з цих значень.

Поза підтримкою значення PMF дорівнює нулю. Наприклад, ймовірність того, що кубик впаде на «0», «7» або «8», дорівнює нулю, оскільки жодне з цих чисел не включено в дужку.

Функції маси ймовірності на практиці

Два найпоширеніші приклади функцій ймовірнісної маси на практиці стосуються біноміального розподілу та розподілу Пуассона .

Біноміальний розподіл

Якщо випадкова величина X відповідає біноміальному розподілу, то ймовірність успіху X = k можна знайти за такою формулою:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

золото:

• n: кількість випробувань
• k: кількість успіхів
• p: ймовірність успіху в даному випробуванні
• _n C _k : кількість способів отримати k успіхів у n випробуваннях

Наприклад, припустимо, що ми кидаємо монету 3 рази. Ми можемо використати наведену вище формулу, щоб визначити ймовірність отримати 0, 1, 2 і 3 голови в цих 3 підкиданнях:

• P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125
• P(X=1) = ₃ C ₁ * 0,5 ¹ * (1-0,5) ^3-1 = 1 * 1 * (0,5) ² = 0,375
• P(X=2) = ₃ C ₂ * 0,5 ² * (1-0,5) ^3-2 = 1 * 1 * (0,5) ¹ = 0,375
• P(X=3) = ₃ C ₃ * 0,5 ³ * (1-0,5) ^3-3 = 1 * 1 * (0,5) ⁰ = 0,125

Розподіл риби

Якщо випадкова величина X відповідає розподілу Пуассона, то ймовірність успіху X = k можна знайти за такою формулою:

P(X=k) = λ ^k * e ^{– λ} / k!

золото:

• λ: середня кількість успіхів протягом певного інтервалу
• k: кількість успіхів
• e: константа, що дорівнює приблизно 2,71828

Наприклад, припустимо, що в одній лікарні в середньому відбувається 2 пологи на годину. Ми можемо використовувати наведену вище формулу, щоб визначити ймовірність народження 0, 1, 2, 3 тощо. в певну годину:

• P(X=0) = 2 ⁰ * e ^{– 2} / 0! = 0,1353
• P(X=1) = 2 ¹ * e ^{– 2} / 1! = 0,2707
• P(X=2) = 2 ² * e ^{– 2} / 2! = 0,2707
• P(X=3) = 2 ³ * e ^{– 2/3} ! = 0,1805

Переглянути PMF

Ми часто візуалізуємо функції ймовірнісної маси за допомогою гістограм.

Наприклад, наступна гістограма показує ймовірності, пов’язані з кількістю народжень на годину для розподілу Пуассона, описаного в попередньому прикладі:

Зауважте, що кількість народжень може тривати до безкінечності, але ймовірності стають настільки малими після 10, що ви навіть не можете побачити їх на гістограмі.

Властивості PMF

Функція маси ймовірності має такі властивості:

1. Усі ймовірності позитивні для підтримки. Наприклад, ймовірність того, що кубик випаде між 1 і 6, є позитивною, а ймовірність усіх інших результатів дорівнює нулю.

2. Усі результати мають ймовірність від 0 до 1. Наприклад, ймовірність того, що кубик випаде між 1 і 6, становить 1/6, або 0,1666666 для кожного результату.

3. Сума всіх ймовірностей повинна дорівнювати 1. Наприклад, сума ймовірностей того, що кубик випаде на певне число, дорівнює 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1. /6 = 1.

Додаткові ресурси

Що таке випадкові величини?
CDF чи PDF: у чому різниця?
Введення в біноміальний розподіл
Введення в розподіл Пуассона