Асиметрія і сплощення

за Редакція 4 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке асиметрія та ексцес у статистиці. Отже, ви знайдете визначення цих двох понять, як обчислити асиметрію та ексцес, їхні формули, а також онлайн-калькулятор для обчислення асиметрії та ексцесу будь-якої вибірки даних.

Що таке перекос і ексцес?

Асиметрія та ексцес є двома статистичними показниками, які використовуються для опису форми розподілу без необхідності побудови його графіка. Точніше, асиметрія вказує на ступінь симетрії (або асиметрії) розподілу, тоді як ексцес вказує на ступінь концентрації розподілу навколо його середнього.

У статистиці асиметрію та ексцес також називають мірами форми .

👉 Ви можете скористатися наведеним нижче онлайн-калькулятором, щоб обчислити асимметрию та ексцес будь-якого набору даних.

Асиметрія

У статистиці асиметрія — це міра, яка вказує на ступінь симетрії (або асиметрії) розподілу відносно його середнього значення. Простіше кажучи, асиметрія — це статистичний параметр, який використовується для визначення ступеня симетрії (або асиметрії) розподілу без необхідності його графічного представлення.

Таким чином, асиметричний розподіл – це такий, який має іншу кількість значень ліворуч від середнього порівняно з одним праворуч. З іншого боку, у симетричному розподілі є однакова кількість значень ліворуч і праворуч від середнього.

Таким чином, виділяють три типи асиметрії :

Позитивна асиметрія : розподіл має більше різних значень праворуч від середнього, ніж ліворуч.
Симетрія : розподіл має однакову кількість значень ліворуч від середнього, як і праворуч від середнього.
Негативна асиметрія : розподіл має більше різних значень ліворуч від середнього, ніж праворуч.

коефіцієнт асиметрії

Коефіцієнт асиметрії або індекс асиметрії — це статистичний коефіцієнт, який допомагає визначити асиметрію розподілу. Таким чином, розрахувавши коефіцієнт асиметрії, можна дізнатися, який тип асиметрії представляє розподіл, не представляючи його графічно.

Хоча існують різні формули для розрахунку коефіцієнта асиметрії, і ми побачимо їх усі нижче, незалежно від використовуваної формули, інтерпретація коефіцієнта асиметрії завжди виконується наступним чином:

Якщо коефіцієнт асиметрії додатний, розподіл є позитивно зміщеним .
Якщо коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю, то розподіл є симетричним .
Якщо коефіцієнт асиметрії від’ємний, розподіл є негативно викривленим .

Коефіцієнт асиметрії Фішера

Коефіцієнт асиметрії Фішера дорівнює третьому моменту середнього значення, поділеному на стандартне відхилення вибірки. Тому формула для коефіцієнта асиметрії Фішера має вигляд:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Для розрахунку коефіцієнта Фішера можна використовувати будь-яку з наступних двох формул:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

золото

$E$

є математичне сподівання,

$\mu$

середнє арифметичне,

$\sigma$

стандартне відхилення і

$N$

загальна кількість даних.

З іншого боку, якщо дані згруповані, ви можете використовувати таку формулу:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Де в даному випадку

$x_i$

Це ознака класу і

$f_i$

абсолютна частота курсу.

Коефіцієнт асиметрії Пірсона

Коефіцієнт асиметрії Пірсона дорівнює різниці між середнім значенням вибірки та модою, поділеній на її стандартне відхилення (або стандартне відхилення). Отже , формула для коефіцієнта асиметрії Пірсона має такий вигляд:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

золото

$A_p$

– коефіцієнт Пірсона,

$\mu$

середнє арифметичне,

$Mo$

мода і

$\sigma$

стандартне відхилення.

Майте на увазі, що коефіцієнт асиметрії Пірсона можна обчислити, лише якщо це унімодальний розподіл, тобто якщо в даних є лише одна мода.

Коефіцієнт асиметрії Боулі

Коефіцієнт асиметрії Боулі дорівнює сумі третього квартиля плюс перший квартиль мінус подвоєна медіана, поділена на різницю між третім і першим квартилем. Таким чином, формула для цього коефіцієнта асиметрії виглядає так:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

золото

$Q_1$

$Q_3$

Це відповідно перший і третій квартилі і

$Me$

є медіаною розподілу.

Сплющення

Ексцес , який також називають асиметрією , вказує на те, наскільки концентрований розподіл навколо свого середнього значення. Іншими словами, ексцес показує, чи є розподіл крутим чи плоским. Зокрема, чим більший ексцес розподілу, тим він крутіший (або різкіший).

Існує три типи лестощів :

Leptokurtic : розподіл дуже гострий, тобто дані сильно зосереджені навколо середнього. Точніше, лептокуртичні розподіли визначаються як розподіли, гостріші за нормальний розподіл.
Mesokurtic : ексцес розподілу еквівалентний ексцесу нормального розподілу. Тому він не вважається ані різким, ані лестивим.
Platykurtic : розподіл дуже плаский, тобто концентрація навколо середнього низька. Формально платикуртичні розподіли визначаються як ті розподіли, які є більш плоскими, ніж нормальний розподіл.

Зауважте, що різні типи ексцесу визначаються за допомогою ексцесу нормального розподілу як еталонного.

коефіцієнт ексцесу

Формула для коефіцієнта ексцесу має такий вигляд:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Формула для коефіцієнта ексцесу для даних, згрупованих у частотних таблицях :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Нарешті, формула для коефіцієнта ексцесу для даних, згрупованих в інтервали :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

золото:

$g_2$

є коефіцієнтом ексцесу.
$N$

це загальна кількість даних.
$x_i$

є i-тою точкою даних у ряді.
$\mu$

– середнє арифметичне розподілу.
$\sigma$

стандартне відхилення (або типове відхилення) розподілу.
$f_i$

це абсолютна частота набору даних IT.
$c_i$

– позначка класу i-ї групи.

Зверніть увагу, що в усіх формулах коефіцієнта ексцесу 3 віднімається, оскільки це значення ексцесу нормального розподілу. Таким чином, розрахунок коефіцієнта ексцесу виконується, беручи ексцес нормального розподілу як еталон. Тому іноді в статистиці кажуть, що розраховується надмірний ексцес .

Після того, як коефіцієнт ексцесу було обчислено, його необхідно інтерпретувати таким чином, щоб визначити, який це тип ексцесу:

Якщо коефіцієнт ексцесу позитивний, це означає, що розподіл є лептокуртичним .
Якщо коефіцієнт ексцесу дорівнює нулю, це означає, що розподіл є мезокуртичним .
Якщо коефіцієнт ексцесу від’ємний, це означає, що розподіл є платікуртичним .

Калькулятор асиметрії та ексцесу

Введіть набір даних у наступний калькулятор, щоб обчислити його асиметрію та коефіцієнт ексцесу, а також визначити тип розподілу. Дані повинні бути розділені пробілом і введені крапкою як десятковим роздільником.

Для чого використовуються асиметрія та ексцес?

Нарешті, ми побачимо, для чого використовуються асимметрия та ексцес у статистиці та як інтерпретуються ці два типи статистичних параметрів.

Асиметрія та ексцес використовуються для визначення форми розподілу ймовірностей без необхідності його графічного представлення. Тобто асиметрія та ексцес обчислюються, щоб визначити тип розподілу без необхідності побудови його графіка, що зазвичай займає багато часу та зусиль.

Крім того, значення асиметрії та ексцесу використовуються для порівняння кривої розподілу з нормальним розподілом. Тому що, якщо вони подібні, це означає, що розподіл, який потрібно дослідити, можна наблизити до нормального розподілу і, отже, можна застосувати кілька статистичних теорем.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке перекос і ексцес?

Асиметрія

коефіцієнт асиметрії

Коефіцієнт асиметрії Фішера

Коефіцієнт асиметрії Пірсона

Коефіцієнт асиметрії Боулі

Сплющення

коефіцієнт ексцесу

Калькулятор асиметрії та ексцесу

Для чого використовуються асиметрія та ексцес?

Про автора

Редакція

Додати коментар