Z-оцінка

за Редакція 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке Z-оцінка в статистиці. Ви також дізнаєтеся, як розрахувати Z-показник акцій, приклади того, як він обчислюється, і які характеристики Z-показника.

Що таке Z бал?

Z-показник або Z-показник — це статистичний показник, який показує, скільки стандартних відхилень має значення від середнього. Щоб обчислити Z-бал для значення, ви віднімаєте середнє значення від цього значення, а потім ділите на стандартне відхилення вибірки даних.

Наприклад, якщо значення на два стандартних відхилення менше, ніж середнє арифметичне набору даних, Z-оцінка для цього значення дорівнює -2.

Цей статистичний термін також називають стандартним балом , Z-статистикою або Z-значенням.

Оцінка Z значення дуже корисна при перевірці гіпотез для обчислення меж довірчих інтервалів і, отже, області відхилення нульової гіпотези.

➤ Див.: Що таке довірчий інтервал у статистиці?

Формула оцінки Z

Оцінка Z дорівнює різниці між значенням і середнім значенням набору даних, поділеним на стандартне відхилення. Тому, щоб знайти Z-оцінку, ви повинні спочатку відняти середнє значення від значення, а потім розділити результат на стандартне відхилення.

Коротше кажучи, формула Z-показника така:

$Z=\cfrac{X-\overline{X}}{\sigma}$

золото

$Z$

це Z оцінка,

$X_i$

це значення, з якого розраховується Z-оцінка,

$\overline{X}$

є середнє арифметичне і

$\sigma$

це стандартне відхилення або типове відхилення.

Інтерпретація значення Z-показника проста: значення Z-показника вказує на кількість стандартних відхилень між значенням і середнім. Отже, чим більше абсолютне значення Z-показника, тим далі значення буде відхилятися від середнього.

Приклади Z балів

Після того, як ми ознайомилися з визначенням Z-балів, щоб ви могли краще зрозуміти його значення, у цьому розділі ми переходимо до вирішення прикладу, у якому обчислюється кілька Z-балів.

Обчисліть бали Z для всіх таких даних: 7, 2, 4, 9, 3

Спочатку нам потрібно знайти середнє арифметичне вибіркових даних:

$\overline{X}=\cfrac{7+2+4+9+3}{5}=5$

➤ Дивіться: Як обчислюється середнє арифметичне?

По-друге, ми обчислюємо стандартне відхилення ряду даних:

$\sigma=2,61$

➤ Див.: Калькулятор стандартного відхилення

І, нарешті, ми застосовуємо формулу Z-показника для кожного даних і обчислюємо всі Z-показники:

$Z=\cfrac{X-\overline{X}}{\sigma}$

$Z_1=\cfrac{7-5}{2,61}=0,77$

$Z_2=\cfrac{7-2}{2,61}=1,92$

$Z_3=\cfrac{7-4}{2,61}=1,15$

$Z_4=\cfrac{7-9}{2,61}=-0,77$

$Z_5=\cfrac{7-3}{2,61}=1,53$

Оцінка Z і емпіричне правило

У випадку, коли розподіл вибірки є нормальним розподілом , завдяки емпіричному правилу ми можемо швидко дізнатися, який відсоток значень відповідає значенню, обчисливши його Z-оцінку.

➤ Див.: Що таке нормальний розподіл?

Отже, емпіричне правило стверджує, що в будь-якому нормальному розподілі вірно наступне:

68% значень знаходяться в межах одного стандартного відхилення від середнього.
95% значень знаходяться в межах двох стандартних відхилень від середнього.
99,7% значень знаходяться в межах трьох стандартних відхилень від середнього.

Отже, якщо це нормальний розподіл, ми можемо вивести наступне з емпіричного правила:

Якщо Z-оцінка менше 1, значення входить до 68% найвищих значень.
Якщо Z-оцінка більша за 1, але менша за 2, значення входить до 95% найвищих значень.
Якщо Z-оцінка більша за 2, але менша за 3, це значення належить до 99,7% значень.

Ви можете побачити більше значень емпіричного правила в наступній таблиці:

➤ Див.: Таблиця правил емблематичних значень

Властивості Z-показника

Z-оцінки мають такі властивості:

Середнє арифметичне всіх Z балів завжди дорівнює 0.
Стандартне відхилення Z балів дорівнює 1.
Z-оцінки є безрозмірними, оскільки одиниці чисельника компенсуються одиницями знаменника.
Якщо Z-оцінка позитивна, це означає, що значення більше, ніж середнє значення вибірки. З іншого боку, якщо Z-оцінка негативна, це означає, що значення нижче за середнє значення вибірки.
Z-оцінки дуже корисні для порівняння різних розподілів.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше