Z тест

за Редакція 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке Z-тест у статистиці та для чого він використовується. Таким чином, ви дізнаєтеся, як робити Z-тест, різні формули Z-тесту і, нарешті, різницю між Z-тестом та іншими статистичними тестами.

Що таке Z-тест?

У статистиці Z-тест — це перевірка гіпотези, яка використовується, коли тестова статистика відповідає нормальному розподілу. Статистика, отримана за допомогою Z-тесту, називається Z-статистикою або Z-значенням.

Формула Z-тесту завжди однакова, точніше, статистика Z-тесту дорівнює різниці між обчисленим значенням вибірки та запропонованим значенням сукупності, поділеною на стандартне відхилення параметра сукупності.

$Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}$

Критерій Z використовується для відхилення або прийняття нульової гіпотези перевірок гіпотез, у яких тестова статистика відповідає нормальному розподілу.

Наприклад, Z-критерій використовується для перевірки гіпотези середнього значення, коли дисперсія генеральної сукупності відома, щоб відхилити або прийняти гіпотезу про значення середньої генеральної сукупності.

➤ Дивіться: Що таке перевірка гіпотези?

Типи Z-тестів

Залежно від параметра, за яким виконується перевірка гіпотези, можна виділити різні типи Z-тестів:

Z тест для середнього.
Z тест на пропорцію.
Z тест на різницю в середніх.
Z тест на різницю в пропорціях.

Нижче ви можете побачити формулу для кожного типу Z-тесту.

Z тест для середнього

Формула Z-тесту для середнього :

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

золото:

$Z$

є статистичним показником Z для середнього значення.
$\overline{x}$

це зразок засобів.
$\mu$

є запропонованим середнім значенням.
$\sigma$

стандартне відхилення сукупності.
$n$

це розмір вибірки.

Після того, як статистику перевірки гіпотези для середнього розраховано, результат слід інтерпретувати як відхилення або відхилення нульової гіпотези:

Якщо перевірка гіпотези для середнього є двосторонньою, нульова гіпотеза відхиляється, якщо абсолютне значення статистики перевищує критичне значення Z _α/2 .
Якщо перевірка гіпотези для середнього збігається з правим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистичне значення перевищує критичне значення Z _α .
Якщо перевірка гіпотези для середнього збігається з лівим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистичне значення менше критичного значення -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Критичні значення критерію Z отримують зі стандартної таблиці нормального розподілу.

➤ Див.: Перевірка гіпотези для середнього значення

Z тест на пропорцію

Формула критерію Z для пропорції :

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

золото:

$Z$

є статистичним показником Z для пропорції.
$\widehat{p}$

є пропорцією зразка.
$p$

є значення запропонованої пропорції.
$n$

це розмір вибірки.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

є стандартним відхиленням пропорції.

Майте на увазі, що недостатньо обчислити статистику Z-критерію для пропорції, але ви повинні потім інтерпретувати отриманий результат:

Якщо перевірка гіпотези пропорції є двосторонньою, нульова гіпотеза відхиляється, якщо абсолютне значення статистики перевищує критичне значення Z _α/2 .
Якщо перевірка гіпотези пропорції збігається з правим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистичне значення перевищує критичне значення Z _α .
Якщо перевірка гіпотези для пропорції збігається з лівим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистика менша за критичне значення -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

➤ Див.: Перевірка гіпотез щодо пропорції

Z тест на різницю в середніх

Формула для розрахунку Z тестової статистики для різниці середніх має вигляд:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

золото:

$Z$

це Z тестова статистика для різниці двох середніх значень з відомою дисперсією, яка відповідає стандартному нормальному розподілу.
$\mu_1$

це середнє значення сукупності 1.
$\mu_2$

це середнє значення сукупності 2.
$\overline{x_1}$

є середнім значенням зразка 1.
$\overline{x_2}$

є середнім значенням зразка 2.
$\sigma_1$

є стандартним відхиленням сукупності 1.
$\sigma_2$

є стандартним відхиленням сукупності 2.
$n_1$

розмір вибірки 1.
$n_2$

розмір вибірки 2.

➤ Див.: Перевірка гіпотез для різниці середніх

Z тест на різницю в пропорціях

Формула для розрахунку статистики Z тесту для різниці в пропорціях двох популяцій має вигляд:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

золото:

$Z$

це Z тестова статистика для різниці в пропорціях.
$p_1$

це частка населення 1.
$p_2$

це частка населення 2.
$\widehat{p_1}$

частка зразка 1.
$\widehat{p_2}$

це пропорція 2.
$n_1$

розмір вибірки 1.
$n_2$

розмір вибірки 2.
$p_0$

це сукупна частка двох зразків.

Об’єднана частка двох зразків розраховується таким чином:

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

золото

$x_i$

– кількість результатів у вибірці iy

$n_i$

це розмір вибірки i.

➤ Див.: Перевірка гіпотез щодо різниці в пропорціях

Як зробити Z-тест

Тепер, коли ми побачили, що таке різні формули Z-тесту, давайте подивимося, як виконати Z-тест.

Кроки для виконання Z-тесту такі.

Визначте нульову гіпотезу та альтернативну гіпотезу перевірки гіпотези.
Визначте рівень значущості альфа (α) перевірки гіпотези.
Перевірте, чи виконано вимоги щодо використання Z-тесту.
Застосуйте відповідну формулу Z-критерію та обчисліть тестову статистику.
Інтерпретуйте результат тесту Z, порівнявши його з критичним значенням тесту.

Z-тест і t-тест

Нарешті, ми побачимо, яка різниця між Z-тестом і t-тестом, оскільки вони, безумовно, є двома типами перевірки гіпотез, які найчастіше використовуються в статистиці.

Т-тест , який також називають t-тестом Стьюдента , — це перевірка гіпотези, яка використовується, коли досліджувана сукупність має нормальний розподіл, але розмір вибірки надто малий, щоб визначити дисперсію сукупності.

Тому головна відмінність між використанням Z-тесту та t-тесту полягає в тому, чи відома дисперсія чи ні. Коли дисперсія генеральної сукупності відома, використовується критерій Z, тоді як коли дисперсія генеральної сукупності невідома, використовується критерій t.

➤ Див.: t тест (статистика)

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке Z-тест?

Типи Z-тестів

Z тест для середнього

Z тест на пропорцію

Z тест на різницю в середніх

Z тест на різницю в пропорціях

Як зробити Z-тест

Z-тест і t-тест

Про автора

Редакція

Додати коментар