Аксіоми ймовірності

за Редакція 1 Серпня, 2023 Без категорії 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке аксіоми ймовірності. Отже, ви знайдете аксіоматичне визначення ймовірності, які є різні аксіоми ймовірності та приклад їх застосування.

Які 3 аксіоми ймовірності?

Аксіомами ймовірності є:

Аксіома ймовірності 1 : ймовірність події не може бути негативною.
Аксіома ймовірності 2 : ймовірність певної події дорівнює 1.
Аксіома ймовірності 3 : ймовірність набору виняткових подій дорівнює сумі всіх ймовірностей.

Три аксіоми ймовірності також відомі як аксіоми Колмогорова , оскільки вони були сформульовані цим російським математиком у 1933 році.

Кожен тип аксіоми ймовірності пояснюється більш детально нижче.

Аксіома 1

Перша аксіома ймовірності говорить, що ймовірність події не може бути від’ємною, тому її значення становить від 0 до 1.

$0\leq P(A)\leq 1$

Якщо ймовірність події дорівнює нулю, це означає, що вона неможлива. З іншого боку, якщо ймовірність події дорівнює 1, це означає, що ця подія обов’язково відбудеться. Отже, чим вище значення ймовірності події, тим більша ймовірність, що вона відбудеться.

аксіома 2

Друга аксіома ймовірності стверджує, що ймовірність настання певної події дорівнює 1.

$P(\Omega)=1$

Певна подія є результатом випадкового досвіду, який траплятиметься завжди. Таким чином, безпечну подію також можна визначити як простір вибірки рандомізованого експерименту.

➤ Див.: Безпечна подія

Аксіома 3

Третя аксіома ймовірності стверджує, що за набору виняткових подій спільна ймовірність усіх подій еквівалентна сумі всіх ймовірностей появи.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Дві або більше подій є винятковими, якщо вони не можуть відбутися одночасно. Тому для розрахунку спільної ймовірності не обов’язково брати до уваги ймовірність їх одночасного виникнення.

➤ Див.: Виключення подій

Приклад аксіом імовірності

Як приклад, нижче ми розберемо кілька результатів експерименту з киданням кубика, щоб ви могли побачити, що аксіоми ймовірності виконуються.

Коли ви кидаєте кубик, є шість можливих результатів, які є такими:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

У цьому випадку всі результати є однаково ймовірними, тому, щоб визначити ймовірність кожного результату, нам просто потрібно знайти ймовірність результату. Отже, ми застосовуємоформулу правила Лапласа , щоб обчислити ймовірність кожного можливого результату:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Тоді, оскільки ймовірність отримання кожного результату позитивна, перша аксіома ймовірності виконується.

А тепер перевіримо другу аксіому. У цьому випадку певна подія «отримує число від 1 до 6», тому ми додаємо ймовірність отримання кожного результату:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

Отже, ймовірність певної події дорівнює 1, тому виконується і друга аксіома ймовірності.

Нарешті, залишається лише перевірити третю аксіому ймовірності. Різні результати, які ми можемо отримати, кидаючи кубик, є взаємовиключними, оскільки, наприклад, якщо ми кидаємо 2, ми більше не можемо отримати 5. Тому обчислення для отримання будь-яких двох чисел можна виконати двома способами: за допомогою правило Лапласа або шляхом додавання ймовірності кожного результату.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

В обох випадках ми отримуємо однакове значення ймовірності, тому третя аксіома ймовірності також вірна.

Властивості, виведені з аксіом ймовірності

З трьох аксіом ймовірності ми можемо вивести такі властивості:

Імовірність неможливої події дорівнює нулю.

$P(\varnothing)=0$

Ймовірність будь-якої події дорівнює або менше 1.

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

Імовірність події дорівнює одиниці мінус ймовірність її додаткової події .

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

Якщо подія включена в іншу подію, ймовірність першої події має бути меншою або дорівнювати ймовірності другої події.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Ймовірність об’єднання двох подій дорівнює сумі їх ймовірностей мінус ймовірність їх перетину.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Дано набір несумісних подій два на два, їх спільна ймовірність обчислюється шляхом додавання ймовірності появи кожної події.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Якщо вибірковий простір скінченний, а подія S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k }, ймовірність появи зазначеної події еквівалентна наступному виразу:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше