Неперервний розподіл ймовірностей

за Редакція 3 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке неперервні розподіли ймовірностей і для чого вони використовуються в статистиці. Таким чином, ви дізнаєтесь, що означає неперервність розподілу ймовірностей, приклади неперервних розподілів і різні типи неперервних розподілів.

Що таке безперервний розподіл ймовірностей?

Безперервний розподіл ймовірностей — це розподіл, функція розподілу якого неперервна. Отже, неперервний розподіл ймовірностей визначає ймовірності неперервної випадкової величини .

Наприклад, нормальний розподіл і t-розподіл Стьюдента є неперервними розподілами ймовірностей.

Однією з характеристик неперервних розподілів ймовірностей є те, що вони можуть приймати будь-які значення в межах інтервалу. Таким чином, на відміну від дискретних розподілів ймовірностей, безперервні розподіли ймовірностей можуть приймати десяткові значення.

У неперервних розподілах, щоб обчислити кумулятивну ймовірність, потрібно знайти площу під кривою розподілу, тому в цьому типі розподілу ймовірностей кумулятивна функція ймовірності еквівалентна інтегралу функції щільності .

$\displaystyle P[X\leq x]=\int_{-\infty}^x f(x)dx$

Приклади неперервних розподілів ймовірностей

Ознайомившись із визначенням безперервного розподілу ймовірностей, ми побачимо кілька прикладів цього типу розподілу, щоб краще зрозуміти концепцію.

Приклади неперервних розподілів ймовірностей:

Вага студентів на курсі.
Термін служби електричного компонента.
Прибутковість акцій компаній, що котируються на біржі.
Швидкість автомобіля.
Ціна певних акцій.

Типи неперервних розподілів ймовірностей

Основними типами неперервних розподілів ймовірностей є:

Рівномірний і безперервний розподіл
Нормальний розподіл
Логанормальний розподіл
Розподіл хі-квадрат
Розподіл Стьюдента
Snedecor F Розповсюдження
Експоненціальний розподіл
Бета-розповсюдження
Гамма-розподіл
Розподіл Вейбулла
Розподіл Парето

Кожен тип безперервного розподілу ймовірностей докладно пояснюється нижче.

Рівномірний і безперервний розподіл

Безперервний рівномірний розподіл , також званий прямокутним розподілом , є типом безперервного розподілу ймовірностей, у якому всі значення мають однакову ймовірність появи. Іншими словами, неперервний рівномірний розподіл — це розподіл, у якому ймовірність рівномірно розподілена на інтервалі.

Неперервний рівномірний розподіл використовується для опису неперервних змінних, які мають постійну ймовірність. Подібним чином безперервний рівномірний розподіл використовується для визначення випадкових процесів, оскільки якщо всі результати мають однакову ймовірність, це означає, що результат є випадковим.

Неперервний рівномірний розподіл має два характеристичні параметри, a і b , які визначають інтервал рівної ймовірності. Таким чином, символ безперервного рівномірного розподілу – U(a,b) , де a і b – характерні значення розподілу.

$X\sim U(a,b)$

Наприклад, якщо результат випадкового експерименту може приймати будь-яке значення від 5 до 9 і всі можливі результати мають однакову ймовірність виникнення, експеримент можна змоделювати з безперервним рівномірним розподілом U(5.9).

➤ Див.: Властивості безперервного рівномірного розподілу

Нормальний розподіл

Нормальний розподіл — це безперервний розподіл ймовірностей, графік якого має форму дзвона та симетричний відносно свого середнього. У статистиці нормальний розподіл використовується для моделювання явищ із дуже різними характеристиками, тому цей розподіл такий важливий.

Фактично, у статистиці нормальний розподіл вважається найважливішим розподілом із усіх розподілів ймовірностей, оскільки він не лише може моделювати велику кількість явищ реального світу, але нормальний розподіл також можна використовувати для наближення інших типів розподіли. за певних умов.

Символом нормального розподілу є велика літера N. Отже, щоб вказати, що змінна відповідає нормальному розподілу, вона позначається літерою N, а значення її середнього арифметичного та стандартного відхилення додаються в дужках.

$X\sim N(\mu,\sigma)$

Нормальний розподіл має багато різних назв, включаючи розподіл Гаусса , розподіл Гаусса та розподіл Лапласа-Гаусса .

➤ Див.: Властивості нормального розподілу

Логанормальний розподіл

Логарифмічний нормальний розподіл або логарифмічний нормальний розподіл — це розподіл ймовірностей, який визначає випадкову величину, чий логарифм відповідає нормальному розподілу.

Отже, якщо змінна X має нормальний розподіл, то експоненціальна функція e ^x має логнормальний розподіл.

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

Зауважте, що логарифмічний нормальний розподіл можна використовувати лише тоді, коли значення змінної додатні, оскільки логарифм — це функція, яка приймає лише один додатний аргумент.

Серед різних застосувань логнормального розподілу в статистиці ми виділяємо використання цього розподілу для аналізу фінансових інвестицій і проведення аналізу надійності.

Логнормальний розподіл також відомий як розподіл Тіно , іноді також записується як логарифмічний нормальний розподіл або логарифмічний нормальний розподіл .

➤ Див.: Властивості логнормального розподілу

Розподіл хі-квадрат

Розподіл хі-квадрат – це розподіл ймовірностей, символом якого є χ². Точніше, розподіл хі-квадрат — це сума квадратів k незалежних випадкових величин із нормальним розподілом.

Таким чином, розподіл хі-квадрат має k ступенів свободи. Отже, розподіл хі-квадрат має стільки ступенів свободи, скільки сума квадратів змінних із нормальним розподілом, які він представляє.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

Розподіл хі-квадрат також відомий як розподіл Пірсона .

Розподіл хі-квадрат широко використовується в статистичних висновках, наприклад, для перевірки гіпотез і довірчих інтервалів. Нижче ми побачимо застосування цього типу розподілу ймовірностей.

➤ Див.: Властивості розподілу хі-квадрат

Розподіл Стьюдента

Розподіл Стьюдента — це розподіл ймовірностей, який широко використовується в статистиці. Зокрема, t-розподіл Стьюдента використовується в t-критерії Стьюдента для визначення різниці між середніми значеннями двох вибірок і встановлення довірчих інтервалів.

Розподіл Стьюдента був розроблений статистиком Вільямом Сілі Госсетом у 1908 році під псевдонімом «Студент».

Розподіл t Стьюдента визначається кількістю ступенів свободи, отриманим шляхом віднімання однієї одиниці із загальної кількості спостережень. Тому формула для визначення ступенів свободи t-розподілу Стьюдента має вигляд ν=n-1 .

$\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}$

➤ Див.: Властивості розподілу Стьюдента

Snedecor F Розповсюдження

F-розподіл Снедекора , також званий F-розподілом Фішера–Снедекора або просто F-розподілом , є безперервним розподілом ймовірностей, який використовується в статистичних висновках, зокрема в дисперсійному аналізі.

Однією з властивостей F-розподілу Снедекора є те, що він визначається значенням двох дійсних параметрів, m і n , які вказують їхні ступені свободи. Таким чином, символом для розподілу Снедекора F є F _m,n , де m і n є параметрами, які визначають розподіл.

$F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”139″ style=”vertical-align: -6px;”> Математично F-розподіл Снедекора дорівнює частці між одним розподілом хі-квадрат і його ступенями свободи, поділеним на частку між іншим розподілом хі-квадрат і його ступенями свободи. Таким чином, формула, яка визначає розподіл Снедекора F, виглядає наступним чином: <p class=$ $\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}$

Розподіл Фішера-Снедекора F отримав свою назву на честь англійського статистика Рональда Фішера та американського статистика Джорджа Снедекора.

У статистиці F-розподіл Фішера-Снедекора має різні застосування. Наприклад, F-розподіл Фішера-Снедекора використовується для порівняння різних моделей лінійної регресії, а цей розподіл ймовірностей використовується в дисперсійному аналізі (ANOVA).

➤ Див.: Властивості розподілу Snedecor F

Експоненціальний розподіл

Експоненціальний розподіл — це безперервний розподіл ймовірностей, який використовується для моделювання часу очікування виникнення випадкового явища.

Точніше, експоненціальний розподіл дає змогу описати час очікування між двома явищами, який відповідає розподілу Пуассона. Тому експоненціальний розподіл тісно пов’язаний з розподілом Пуассона.

Експоненціальний розподіл має характерний параметр, представлений грецькою літерою λ, і вказує кількість разів, коли досліджувана подія має відбутися протягом певного періоду часу.

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

Подібним чином, експоненціальний розподіл також використовується для моделювання часу до появи збою. Отже, експоненціальний розподіл має декілька застосувань у теорії надійності та виживання.

➤ Див.: Властивості експоненціального розподілу

Бета-розповсюдження

Бета-розподіл — це розподіл ймовірностей, визначений на інтервалі (0,1) і параметризований двома позитивними параметрами: α і β. Іншими словами, значення бета-розподілу залежать від параметрів α і β.

Таким чином, бета-розподіл використовується для визначення неперервних випадкових змінних, значення яких знаходиться між 0 і 1.

Існує кілька позначень, які вказують на те, що безперервна випадкова змінна регулюється бета-розподілом, найпоширеніші:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

У статистиці бета-розповсюдження має дуже різноманітне застосування. Наприклад, бета-розподіл використовується для вивчення варіацій у відсотках у різних зразках. Так само в управлінні проектами бета-розповсюдження використовується для виконання аналізу Pert.

➤ Див.: Властивості бета-розповсюдження

Гамма-розподіл

Гамма-розподіл — це безперервний розподіл ймовірностей, який визначається двома характерними параметрами, α і λ. Іншими словами, гамма-розподіл залежить від значення двох його параметрів: α — параметр форми та λ — параметр масштабу.

Символом гамма-розподілу є велика грецька літера Γ. Отже, якщо випадкова величина відповідає гамма-розподілу, вона записується так:

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

Гамма-розподіл також можна параметризувати за допомогою параметра форми k = α та параметра оберненого масштабу θ = 1/λ. У всіх випадках два параметри, які визначають гамма-розподіл, є позитивними дійсними числами.

Як правило, гамма-розподіл використовується для моделювання наборів даних зі зміщенням управо, щоб була більша концентрація даних у лівій частині графіка. Наприклад, гамма-розподіл використовується для моделювання надійності електричних компонентів.

➤ Див.: Властивості гамма-розподілу

Розподіл Вейбулла

Розподіл Вейбулла є безперервним розподілом ймовірностей, який визначається двома характерними параметрами: параметром форми α і параметром масштабу λ.

У статистиці розподіл Вейбулла в основному використовується для аналізу виживання. Подібним чином розподіл Вейбулла має багато застосувань у різних сферах.

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

На думку авторів, розподіл Вейбулла також можна параметризувати трьома параметрами. Потім додається третій параметр, який називається пороговим значенням, який вказує абсцису, на якій починається графік розподілу.

Розподіл Вейбулла названо на честь шведа Валодді Вейбулла, який детально описав його в 1951 році. Однак розподіл Вейбулла був відкритий Морісом Фреше в 1927 році та вперше застосований Розіном і Раммлером у 1933 році.

➤ Див.: Властивості розподілу Вейбулла

Розподіл Парето

Розподіл Парето — безперервний розподіл ймовірностей, який використовується в статистиці для моделювання принципу Парето. Таким чином, розподіл Парето є розподілом ймовірностей, який має кілька значень, ймовірність появи яких набагато вище, ніж інші значення.

Пам’ятайте, що закон Парето, також званий правилом 80-20, є статистичним принципом, який говорить, що більшість причин явища є причиною невеликої частини населення.

Розподіл Парето має два характерних параметри: параметр масштабу x _m і параметр форми α.

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

Спочатку розподіл Парето використовувався для опису розподілу багатства всередині населення, оскільки більша частина його була зумовлена невеликою часткою населення. Але в даний час розподіл Парето має багато застосувань, наприклад, в контролі якості, в економіці, в науці, в соціальній сфері і т.д.

➤ Див.: Властивості розподілу Парето

Неперервний і дискретний розподіл ймовірностей

Розподіли ймовірностей можна класифікувати на неперервні розподіли та дискретні розподіли. Отже, нарешті, ми побачимо, яка різниця між цими двома типами розподілу ймовірностей.

Різниця між неперервними розподілами ймовірностей і дискретними розподілами ймовірностей полягає в кількості значень, які вони можуть приймати. Безперервні розподіли можуть приймати нескінченну кількість значень в інтервалі, тоді як дискретні розподіли можуть приймати тільки лічильну кількість значень в інтервалі.

Тому, загалом, один із способів відрізнити неперервні розподіли від дискретних – це за типом чисел, які вони можуть приймати. Зазвичай неперервний розподіл може приймати будь-які значення, включаючи десяткові числа, тоді як дискретний розподіл може приймати лише цілі числа.

➤ Див.:Що таке дискретний розподіл ймовірностей?

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше