Розуміння форми біноміального розподілу

Біноміальний розподіл описує ймовірність отримання k успіхів у n біноміальних експериментах.

Якщо випадкова величина X відповідає біноміальному розподілу, то ймовірність успіху X = k можна знайти за такою формулою:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

золото:

• n: кількість випробувань
• k: кількість успіхів
• p: ймовірність успіху в даному випробуванні
• _n C _k : кількість способів отримати k успіхів у n випробуваннях

Біноміальний розподіл ймовірностей має тенденцію мати дзвоноподібну форму, коли має місце одна або більше з наступних двох умов:

1. Обсяг вибірки (n) великий.

2. Ймовірність успіху для даного випробування (p) близька до 0,5.

Однак біноміальний розподіл ймовірностей має тенденцію до спотворення, коли жодна з цих умов не виконується. Щоб проілюструвати це, розглянемо такі приклади:

Приклад 1: Обсяг вибірки (n) великий

На наступному графіку показано розподіл ймовірностей, коли n = 200 і p = 0,5 .

На осі х відображається кількість успішних результатів за 200 випробувань, а на осі ординат – імовірність досягнення цієї кількості успіхів.

Оскільки (1) розмір вибірки великий і (2) ймовірність успіху для даного випробування близька до 0,5, розподіл ймовірностей має дзвоноподібну форму.

Навіть якщо ймовірність успіху для даного випробування (p) не близька до 0,5, розподіл ймовірностей залишатиметься дзвоноподібним, доки розмір вибірки (n) великий. Щоб проілюструвати це, розглянемо наступні два сценарії, коли p = 0,2 і p = 0,8.

Зверніть увагу, що розподіл ймовірностей має дзвоноподібну форму в обох сценаріях.

Приклад 2: ймовірність успіху (p) близька до 0,5

На наступному графіку показано розподіл ймовірностей, коли n = 10 і p = 0,4 .

Хоча розмір вибірки (n = 10) невеликий, розподіл ймовірностей залишається дзвоноподібним, оскільки ймовірність успіху для даного випробування (p = 0,4) близька до 0,5.

Приклад 3: Викривлені біноміальні розподіли

Якщо ні (1) розмір вибірки не є великим, ні (2) ймовірність успіху даного випробування не наближається до 0,5, біноміальний розподіл ймовірностей буде зміщений вліво або вправо.

Наприклад, наступний графік показує розподіл ймовірностей, коли n = 20 і p = 0,1 .

Зверніть увагу на те, як розподіл зміщено вправо.

На наступному графіку показано розподіл ймовірностей, коли n = 20 і p = 0,9 .

Зверніть увагу на те, як розподіл зміщено вліво.

Кінцеві примітки

Кожен із графіків у цій статті було створено за допомогою мови статистичного програмування R. Дізнайтеся, як побудувати власні біноміальні розподіли ймовірностей у R за допомогою цього посібника .