Вимірювання форми

за Редакція 4 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке вимірювання форми. Тож ви дізнаєтесь, для чого використовуються показники форми, як інтерпретуються показники форми та як обчислюються ці типи статистичних показників.

Що таке вимірювання форми?

У статистиці вимірювання форми — це показники, які дозволяють нам описати розподіл ймовірностей відповідно до його форми. Тобто вимірювання форми використовуються для визначення того, як виглядає розподіл без необхідності побудови його графіка.

Існує два типи вимірювання форми: перекіс і ексцес. Асиметрія вказує на те, наскільки симетричним є розподіл, тоді як ексцес вказує на те, наскільки концентрований розподіл навколо свого середнього.

Які вимірювання форми?

Розглядаючи визначення мір форми, у цьому розділі показано, що це за типи статистичних параметрів.

У статистиці ми розрізняємо два показники форми:

Асиметрія : вказує, чи є розподіл симетричним чи асиметричним.
Ексцес – вказує на те, чи є розподіл крутим чи плоским.

Асиметрія

Розрізняють три типи асиметрії :

Позитивна асиметрія : розподіл має більше різних значень праворуч від середнього, ніж ліворуч.
Симетрія : розподіл має однакову кількість значень ліворуч від середнього, як і праворуч від середнього.
Негативна асиметрія : розподіл має більше різних значень ліворуч від середнього, ніж праворуч.

коефіцієнт асиметрії

Коефіцієнт асиметрії або індекс асиметрії — це статистичний коефіцієнт, який допомагає визначити асиметрію розподілу. Таким чином, розрахувавши коефіцієнт асиметрії, можна дізнатися тип асиметрії розподілу без необхідності робити його графічне зображення.

Хоча існують різні формули для розрахунку коефіцієнта асиметрії, і ми побачимо їх усі нижче, незалежно від використовуваної формули, інтерпретація коефіцієнта асиметрії завжди виконується наступним чином:

Якщо коефіцієнт асиметрії додатний, розподіл є позитивно викривленим .
Якщо коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю, то розподіл є симетричним .
Якщо коефіцієнт асиметрії негативний, розподіл є негативно зміщеним .

Коефіцієнт асиметрії Фішера

Коефіцієнт асиметрії Фішера дорівнює третьому моменту середнього значення, поділеному на стандартне відхилення вибірки. Тому формула для коефіцієнта асиметрії Фішера має вигляд:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Для розрахунку коефіцієнта Фішера можна використовувати будь-яку з наступних двох формул:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

золото

$E$

є математичне сподівання,

$\mu$

середнє арифметичне,

$\sigma$

стандартне відхилення і

$N$

загальна кількість даних.

З іншого боку, якщо дані згруповані, ви можете використовувати таку формулу:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Де в даному випадку

$x_i$

Це ознака класу і

$f_i$

абсолютна частота курсу.

Коефіцієнт асиметрії Пірсона

Коефіцієнт асиметрії Пірсона дорівнює різниці між середнім значенням вибірки та модою, поділеним на його стандартне відхилення (або стандартне відхилення). Отже , формула для коефіцієнта асиметрії Пірсона має такий вигляд:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

золото

$A_p$

– коефіцієнт Пірсона,

$\mu$

середнє арифметичне,

$Mo$

мода і

$\sigma$

стандартне відхилення.

Майте на увазі, що коефіцієнт асиметрії Пірсона можна обчислити, лише якщо це унімодальний розподіл, тобто якщо в даних є лише одна мода.

Коефіцієнт асиметрії Боулі

Коефіцієнт асиметрії Боулі дорівнює сумі третього квартиля плюс перший квартиль мінус подвоєна медіана, поділена на різницю між третім і першим квартилями. Таким чином, формула для цього коефіцієнта асиметрії виглядає так:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

золото

$Q_1$

$Q_3$

є відповідно першим і третім квартилями і

$Me$

є медіаною розподілу.

Сплющення

Ексцес , який також називають асиметрією , вказує на те, наскільки концентрований розподіл навколо свого середнього значення. Іншими словами, ексцес показує, чи є розподіл крутим чи плоским. Зокрема, чим більший ексцес розподілу, тим він крутіший (або різкіший).

Існує три типи лестощів :

Leptokurtic : розподіл дуже гострий, тобто дані сильно зосереджені навколо середнього. Точніше, лептокуртичні розподіли визначаються як розподіли, гостріші за нормальний розподіл.
Mesokurtic : ексцес розподілу еквівалентний ексцесу нормального розподілу. Тому він не вважається ані загостреним, ані сплощеним.
Platicurtic : розподіл дуже сплощений, тобто концентрація навколо середнього низька. Формально платикуртичні розподіли визначаються як розподіли, які є більш плоскими, ніж нормальний розподіл.

Зауважте, що різні типи ексцесу визначаються за допомогою ексцесу нормального розподілу як еталонного.

Коефіцієнт сплощення

Формула для коефіцієнта ексцесу має такий вигляд:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Формула для коефіцієнта ексцесу для даних, згрупованих у частотних таблицях :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Нарешті, формула для коефіцієнта ексцесу для даних, згрупованих в інтервали :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

золото:

$g_2$

є коефіцієнтом ексцесу.
$N$

це загальна кількість даних.
$x_i$

це i-ті дані в ряду.
$\mu$

– середнє арифметичне розподілу.
$\sigma$

стандартне відхилення (або типове відхилення) розподілу.
$f_i$

це абсолютна частота набору даних IT.
$c_i$

є маркою класу i групи.

Зверніть увагу, що в усіх формулах коефіцієнта ексцесу 3 віднімається, оскільки це значення ексцесу нормального розподілу. Таким чином, розрахунок коефіцієнта ексцесу виконується, беручи ексцес нормального розподілу як еталон. Тому іноді в статистиці кажуть, що розраховується надмірний ексцес .

Після того, як коефіцієнт ексцесу було обчислено, його необхідно інтерпретувати таким чином, щоб визначити, який це тип ексцесу:

Якщо коефіцієнт ексцесу позитивний, це означає, що розподіл є лептокуртичним .
Якщо коефіцієнт ексцесу дорівнює нулю, це означає, що розподіл є мезокуртичним .
Якщо коефіцієнт ексцесу від’ємний, це означає, що розподіл є платікуртичним .

Інші види статистичних заходів

Вас також може зацікавити будь-який із наведених нижче статистичних показників. Клацніть один із них, щоб побачити, що це таке та як вони обчислюються.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке вимірювання форми?

Які вимірювання форми?

Асиметрія

коефіцієнт асиметрії

Коефіцієнт асиметрії Фішера

Коефіцієнт асиметрії Пірсона

Коефіцієнт асиметрії Боулі

Сплющення

Коефіцієнт сплощення

Інші види статистичних заходів

Про автора

Редакція

Додати коментар