Геометричний розподіл

за Редакція 3 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке геометричний розподіл у статистиці. Тому ви знайдете визначення геометричного розподілу, приклади геометричних розподілів і властивості цього типу розподілу ймовірностей. Крім того, ви можете розрахувати будь-яку ймовірність геометричного розподілу за допомогою онлайн-калькулятора.

Що таке геометричний розподіл?

Геометричний розподіл — це розподіл ймовірностей, який визначає кількість проб Бернуллі, необхідних для отримання першого успішного результату.

Тобто геометричний розподіл моделює процеси, в яких експерименти Бернуллі повторюються, поки один з них не отримає позитивний результат.

Пам’ятайте, що тест Бернуллі — це експеримент, який має два можливі результати: «успіх» і «невдача». Отже, якщо ймовірність «успіху» дорівнює p , то ймовірність «невдачі» дорівнює q=1-p .

Отже, геометричний розподіл залежить від параметра p , який є ймовірністю успіху всіх проведених експериментів. Крім того, ймовірність p однакова для всіх експериментів.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

Подібним чином, геометричний розподіл також можна визначити як кількість невдач перед першим успіхом. У цьому випадку розподіл може приймати значення x=0 і його формула дещо змінюється. Але найпоширенішим є повернення до визначення геометричного розподілу, поясненого на початку цього розділу.

Приклади геометричного розподілу

Після того, як ми ознайомилися з визначенням геометричного розподілу, у цьому розділі показано кілька прикладів випадкових величин, які відповідають цьому типу розподілу.

Приклади геометричного розподілу:

Кількість підкидань монети, доки не будуть отримані голови.
Кількість автомобілів, які проїхали по дорозі, поки вони не побачили червоний автомобіль.
Скільки разів особа повинна складати іспит з водіння, поки не складе його.
Кількість кидків кубиків, доки не випало число 6.
Кількість штрафних кидків, які необхідно виконати до моменту забиття воріт.

Формула геометричного розподілу

У геометричному розподілі ймовірність проведення x спроб для отримання позитивного результату дорівнює добутку параметра p , помноженого на (1-p), у степені x-1 .

Тому формула для обчислення ймовірності геометричного розподілу має вигляд:

👉 Ви можете скористатися калькулятором нижче, щоб обчислити ймовірність змінної, яка відповідає геометричному розподілу.

З іншого боку, формула для функції розподілу, яка дає змогу обчислити кумулятивну ймовірність геометричного розподілу, виглядає наступним чином:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Розв’язана вправа на геометричний розподіл

Яка ймовірність отримати число 5 під час третього кидка кубика?

Розподіл ймовірностей цієї задачі є геометричним розподілом, оскільки він визначає необхідну кількість кидків (три) для отримання успішного результату (число 5).

Тому ми повинні спочатку розрахувати ймовірність успіху кожного запуску. У цьому випадку є лише один позитивний результат із шести можливих, тому ймовірність p дорівнює:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

Потім ми застосовуємо формулу геометричного розподілу, щоб визначити ймовірність того, що нас запитує вправа:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

Геометричні характеристики розподілу

Геометричний розподіл відповідає таким характеристикам:

Геометричний розподіл має характерний параметр p , який є ймовірністю успіху кожного з проведених експериментів.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...ne of the geometric distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the geometric distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...geometric tion is equal to one divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...st equals one divided by probability
Please use \mathaccent for accents in math mode.

Дисперсія геометричного розподілу еквівалентна різниці 1 мінус p на квадрат p .

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

Формула для функції маси геометричного розподілу:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

Подібним чином формула для кумулятивної функції ймовірності геометричного розподілу має вигляд:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Геометричний розподіл є окремим випадком негативного біноміального розподілу. Точніше, це еквівалентно від’ємному біноміальному розподілу з параметром r=1 .

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ Див.: Негативний біноміальний розподіл
➤ Див.: Біноміальний розподіл

Геометричний калькулятор розподілу

Введіть значення параметра p і значення x у наступний калькулятор, щоб обчислити ймовірність. Вам потрібно вибрати ймовірність, яку ви хочете обчислити, і ввести числа, використовуючи крапку як десятковий роздільник, наприклад 0,1667.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше