Введення в гіпергеометричний розподіл

Гіпергеометричний розподіл описує ймовірність вибору k об’єктів з певною характеристикою в n розіграшах без заміни з кінцевої сукупності розміром N , що містить K об’єктів із цією характеристикою.

Якщо випадкова величина X відповідає гіпергеометричному розподілу, то ймовірність вибору k об’єктів з певною характеристикою можна знайти за такою формулою:

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

золото:

• N: розмір популяції
• K: кількість об’єктів у сукупності з певною ознакою
• n: розмір вибірки
• k: кількість об’єктів у вибірці з певною функціональністю
• _K C _k : кількість комбінацій із K речей, взятих k за раз

Наприклад, у стандартній колоді з 52 карт є 4 дами. Припустімо, ми навмання вибираємо карту з колоди, а потім, не замінюючи, навмання вибираємо іншу карту з колоди. Яка ймовірність того, що обидві карти є дамами?

Щоб відповісти на це питання, ми можемо використати гіпергеометричний розподіл із такими параметрами:

• N: розмір населення = 52 картки
• K: кількість об’єктів у популяції з певною ознакою = 4 матки
• n: розмір вибірки = 2 розіграші
• k: кількість об’єктів у вибірці з певною ознакою = 2 матки

Підставляючи ці числа у формулу, ми знаходимо, що ймовірність:

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0,00452 .

Це має бути інтуїтивно зрозумілим. Якщо ви уявляєте, що витягуєте дві карти з колоди одну за одною, ймовірність того, що обидві карти є дамами, має бути дуже низькою.

Властивості гіпергеометричного розподілу

Гіпергеометричний розподіл має такі властивості:

Середнє значення розподілу дорівнює (nK) / N

Дисперсія розподілу становить (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1))

Практичні задачі гіпергеометричного розподілу

Використовуйте наведені нижче практичні завдання, щоб перевірити свої знання про гіпергеометричний розподіл.

Примітка: ми будемо використовувати калькулятор гіпергеометричного розподілу , щоб обчислити відповіді на ці запитання.

Проблема 1

Запитання: Припустімо, ми навмання вибираємо чотири карти з колоди, не замінюючи їх. Яка ймовірність того, що дві з карт є дамами?

Щоб відповісти на це питання, ми можемо використати гіпергеометричний розподіл із такими параметрами:

• N: розмір населення = 52 картки
• K: кількість об’єктів у популяції з певною ознакою = 4 матки
• n: розмір вибірки = 4 розіграші
• k: кількість об’єктів у вибірці з певною ознакою = 2 матки

Вставивши ці числа в калькулятор гіпергеометричного розподілу, ми виявимо, що ймовірність дорівнює 0,025 .

Проблема 2

Запитання: Урна містить 3 червоні кулі та 5 зелених куль. Ви навмання обираєте 4 кулі. Яка ймовірність того, що ви виберете саме 2 червоні кулі?

Щоб відповісти на це питання, ми можемо використати гіпергеометричний розподіл із такими параметрами:

• N: розмір населення = 8 кульок
• K: кількість об’єктів у сукупності з певною ознакою = 3 червоні кульки
• n: розмір вибірки = 4 розіграші
• k: кількість об’єктів у вибірці з певною ознакою = 2 червоні кульки

Вставивши ці числа в калькулятор гіпергеометричного розподілу, ми виявимо, що ймовірність дорівнює 0,42857 .

Проблема 3

Запитання: кошик містить 7 фіолетових кульок і 3 рожевих кульки. Ви випадковим чином обираєте 6 кульок. Яка ймовірність того, що ви виберете саме 3 рожеві кульки?

Щоб відповісти на це питання, ми можемо використати гіпергеометричний розподіл із такими параметрами:

• N: розмір населення = 10 кульок
• K: кількість об’єктів у сукупності з певною ознакою = 3 рожеві кульки
• n: розмір вибірки = 6 розіграшів
• k: кількість об’єктів у вибірці з певною ознакою = 3 рожеві кульки

Вставивши ці числа в калькулятор гіпергеометричного розподілу, ми виявимо, що ймовірність дорівнює 0,16667 .