Дискретний розподіл ймовірностей

за Редакція 3 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке дискретні розподіли ймовірностей у статистиці. Отже, ви дізнаєтесь про значення дискретного розподілу ймовірностей, приклади дискретних розподілів ймовірностей і про різні типи дискретних розподілів ймовірностей.

Що таке дискретний розподіл ймовірностей?

Дискретний розподіл ймовірностей — це розподіл, який визначає ймовірності дискретної випадкової величини . Тому дискретний розподіл ймовірностей може приймати лише кінцеву кількість значень (зазвичай цілих).

Наприклад, біноміальний розподіл, розподіл Пуассона та гіпергеометричний розподіл є дискретними розподілами ймовірностей.

У дискретному розподілі ймовірностей кожне значення дискретної змінної, що представляє (x _i ), пов’язане зі значенням імовірності (p _i ), яке коливається від 0 до 1. Таким чином, сума всіх ймовірностей у дискретному розподілі дає результат один .

$\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i \quad i=1,2,\ldots, n\\[2ex]0\leq p_i\leq 1\\[2ex]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_i=1\end{array}$

Приклади дискретних розподілів ймовірностей

Тепер, коли ми знаємо визначення дискретного розподілу ймовірностей, ми побачимо кілька прикладів цього типу розподілу, щоб краще зрозуміти концепцію.

Приклади дискретних розподілів ймовірностей:

Кількість разів, коли число 5 отримують, кидаючи кубик 30 разів.
Кількість користувачів, які відвідують веб-сторінку за день.
Кількість студентів, які склали іспит із загальної кількості 50 студентів.
Кількість бракованих одиниць у вибірці 100 виробів.
Скільки разів особа повинна складати іспит з водіння, щоб його скласти.

Типи дискретних розподілів ймовірностей

Основними типами дискретних розподілів ймовірностей є:

Дискретний рівномірний розподіл
Розподіл Бернуллі
Біноміальний розподіл
Розподіл риби
Мультиноміальний розподіл
Геометричний розподіл
Негативний біноміальний розподіл
Гіпергеометричний розподіл

Кожен тип дискретного розподілу ймовірностей докладно пояснюється нижче.

Дискретний рівномірний розподіл

Дискретний рівномірний розподіл — це дискретний розподіл ймовірностей, у якому всі значення є рівноімовірними, тобто в дискретному рівномірному розподілі всі значення мають однакову ймовірність появи.

Наприклад, кидок кубика можна визначити за допомогою дискретного рівномірного розподілу, оскільки всі можливі результати (1, 2, 3, 4, 5 або 6) мають однакову ймовірність виникнення.

Загалом, дискретний рівномірний розподіл має два характеристичні параметри, a і b , які визначають діапазон можливих значень, які може прийняти розподіл. Таким чином, коли змінна визначається дискретним рівномірним розподілом, вона записується Uniform(a,b) .

$X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

Дискретний рівномірний розподіл можна використовувати для опису випадкових експериментів, оскільки якщо всі результати мають однакову ймовірність, це означає, що експеримент є випадковим.

➤ Див.: Формула для дискретного рівномірного розподілу

Розподіл Бернуллі

Розподіл Бернуллі , також відомий як дихотомічний розподіл , є розподілом ймовірностей, який представляє дискретну змінну, яка може мати лише два результати: «успіх» або «невдача».

У розподілі Бернуллі «успіх» — це результат, який ми очікуємо, і має значення 1, тоді як результат «невдача» — результат, відмінний від очікуваного, і має значення 0. Отже, якщо ймовірність результату « успіх» дорівнює p , ймовірність результату «невдачі» дорівнює q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Розподіл Бернуллі названо на честь швейцарського статистика Якоба Бернуллі.

У статистиці розподіл Бернуллі в основному має одне застосування: визначення ймовірностей експериментів, у яких є лише два можливі результати: успіх і невдача. Отже, експеримент, який використовує розподіл Бернуллі, називається тестом Бернуллі або експериментом Бернуллі.

➤ Див.: Формула розподілу Бернуллі

Біноміальний розподіл

Біноміальний розподіл , який також називають біноміальним розподілом , — це розподіл ймовірностей, який підраховує кількість успіхів під час виконання серії незалежних дихотомічних експериментів із постійною ймовірністю успіху. Іншими словами, біноміальний розподіл — це розподіл, який описує кількість успішних результатів послідовності випробувань Бернуллі.

Наприклад, кількість разів, коли монета випадає на голову 25 разів, є біноміальним розподілом.

Загалом, загальна кількість проведених експериментів визначається параметром n , тоді як p є ймовірністю успіху кожного експерименту. Таким чином, випадкова величина, яка слідує за біноміальним розподілом, записується так:

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

Зверніть увагу, що в біноміальному розподілі той самий експеримент повторюється n разів, і експерименти не залежать один від одного, тому ймовірність успіху кожного експерименту однакова (p) .

➤ Див.: Біноміальна формула розподілу

Розподіл риби

Розподіл Пуассона — це розподіл ймовірностей, який визначає ймовірність певної кількості подій, що відбуваються протягом певного періоду часу. Іншими словами, розподіл Пуассона використовується для моделювання випадкових змінних, які описують кількість повторень явища в інтервалі часу.

Наприклад, кількість дзвінків, які отримує телефонна станція за хвилину, є дискретною випадковою величиною, яку можна визначити за допомогою розподілу Пуассона.

Розподіл Пуассона має характерний параметр, представлений грецькою літерою λ і вказує кількість разів, коли досліджувана подія, як очікується, відбудеться протягом заданого інтервалу.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

➤ Див.: Формула розподілу риби

Мультиноміальний розподіл

Мультиноміальний розподіл (або мультиноміальний розподіл ) — це розподіл ймовірностей, який описує ймовірність кількох взаємовиключних подій, що відбуваються певну кількість разів після кількох випробувань.

Тобто, якщо випадковий експеримент може призвести до трьох або більше ексклюзивних подій і відома ймовірність кожної події окремо, мультиноміальний розподіл використовується для обчислення ймовірності того, що при проведенні кількох експериментів відбудеться певна кількість подій. час кожного разу.

Тому мультиноміальний розподіл є узагальненням біноміального розподілу.

➤ Див.: Мультиноміальна формула розподілу

Геометричний розподіл

Геометричний розподіл — це розподіл ймовірностей, який визначає кількість проб Бернуллі, необхідних для отримання першого успішного результату. Тобто геометричний розподіл моделює процеси, в яких експерименти Бернуллі повторюються, поки один з них не отримає позитивний результат.

Наприклад, кількість автомобілів, які проїжджають по дорозі, поки вони не побачать жовтий автомобіль, є геометричним розподілом.

Пам’ятайте, що тест Бернуллі — це експеримент, який має два можливі результати: «успіх» і «невдача». Отже, якщо ймовірність «успіху» дорівнює p , то ймовірність «невдачі» дорівнює q=1-p .

Отже, геометричний розподіл залежить від параметра p , який є ймовірністю успіху всіх проведених експериментів. Крім того, ймовірність p однакова для всіх експериментів.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ Див.: Формула геометричного розподілу

Негативний біноміальний розподіл

Негативний біноміальний розподіл — це розподіл ймовірностей, який описує кількість проб Бернуллі, необхідних для отримання певної кількості позитивних результатів.

Отже, негативний біноміальний розподіл має два характерних параметри: r — кількість бажаних успішних результатів і p — ймовірність успіху для кожного проведеного експерименту Бернуллі.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

Таким чином, негативний біноміальний розподіл визначає процес, у якому виконується стільки спроб Бернуллі, скільки необхідно для отримання позитивних результатів . Крім того, усі ці випробування Бернуллі незалежні та мають постійну ймовірність успіху .

Наприклад, випадкова змінна, що слідує за негативним біноміальним розподілом, — це кількість кидків кубика, доки число 6 не буде кинуто тричі.

➤ Див.: Формула для від’ємного біноміального розподілу

Гіпергеометричний розподіл

Гіпергеометричний розподіл — це розподіл ймовірностей, який описує кількість успішних випадків у випадковому вилученні без заміни n елементів із сукупності.

Тобто гіпергеометричний розподіл використовується для обчислення ймовірності отримання x успіхів при вилученні n елементів із сукупності без заміни жодного з них.

Отже, гіпергеометричний розподіл має три параметри:

N : кількість елементів у сукупності (N = 0, 1, 2,…).
K : максимальна кількість успішних випадків (K = 0, 1, 2,…,N). Оскільки в гіпергеометричному розподілі елемент можна вважати лише «успішним» або «невдалим», NK — це максимальна кількість випадків відмови.
n : це кількість виконаних вибірок без заміни.

$X \sim HG(N,K,n)$

➤ Див.: Гіпергеометрична формула розподілу

Дискретний і неперервний розподіл ймовірностей

Нарешті, ми побачимо різницю між дискретним розподілом ймовірностей і безперервним розподілом ймовірностей, оскільки важливо знати, як розрізняти ці два типи розподілів.

Різниця між дискретним розподілом і неперервним розподілом полягає в кількості значень, які вони можуть приймати. Безперервний розподіл може приймати будь-які значення, з іншого боку, дискретний розподіл не приймає жодних значень, але може приймати лише кінцеву кількість значень.

Один із способів відрізнити неперервні розподіли від дискретних – визначити, який тип чисел вони можуть містити. Зазвичай неперервний розподіл може приймати будь-які значення, включаючи десяткові числа, тоді як дискретний розподіл може приймати лише цілі числа. Майте на увазі, що ця порада працює не у всіх випадках, але в переважній більшості випадків.

➤ Див.: Що таке безперервний розподіл ймовірностей?

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше