Довірчий інтервал

за Редакція 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке довірчий інтервал у статистиці та для чого він використовується. Ви також знайдете фактори, які впливають на довірчі інтервали, і як розраховується довірчий інтервал.

Що таке довірчий інтервал?

У статистиці довірчий інтервал – це інтервал, який дає наближення значень, між якими значення параметра сукупності зв’язується з певним рівнем довіри. Найпоширеніші довірчі інтервали мають рівень довіри 95% або 99%.

Наприклад, якщо довірчий інтервал для середнього значення сукупності з рівнем довіри 95% становить (3,7), це означає, що середнє значення досліджуваної сукупності буде між 3 і 7 з імовірністю 95%.

Тому довірчий інтервал використовується для оцінки двох значень, між якими знаходиться параметр сукупності. Як правило, значення параметрів сукупності невідомі, тому довірчий інтервал обчислюється на основі даних у вибірці, щоб отримати оцінку параметрів сукупності.

Фактори, що впливають на довірчий інтервал

Ознайомившись із визначенням довірчого інтервалу, ми побачимо, від яких факторів залежать довірчі інтервали, щоб краще зрозуміти цю концепцію.

Розмір вибірки : кількість вивчених спостережень впливає на точність довірчого інтервалу, оскільки чим більше даних ми маємо, тим більше можна оцінити значення. Загалом, чим більший розмір вибірки, тим менша ширина довірчого інтервалу.
Допустима похибка : чим більша допустима похибка, тим більший довірчий інтервал, а тому більша ймовірність того, що справжнє значення параметра знаходиться в межах довірчого інтервалу. Однак похибка зменшує точність довірчого інтервалу.
Рівень довіри : це ймовірність того, що оцінка статистики населення знаходиться в межах довірчого інтервалу. Як правило, рівень достовірності інтервалу позначається як 1-α і виражається у відсотках. Високий рівень достовірності збільшує ймовірність того, що справжнє значення знаходиться між межами інтервалу, але також збільшує ширину інтервалу.
Оцінений параметр : довірчий інтервал залежить від параметра, який необхідно апроксимувати. Насправді формула для розрахунку довірчого інтервалу залежить від приблизного параметра.

Як розрахувати довірчий інтервал

Формула, яка використовується для обчислення кожного типу довірчого інтервалу, представлена нижче, оскільки залежно від того, чи ми хочемо визначити довірчий інтервал для середнього значення, дисперсії чи пропорції, формула для використання буде різною.

Довірчий інтервал для середнього

Починаючи з того факту, що процес введення змінної виконується наступним чином:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

Довірчий інтервал для середнього обчислюється шляхом додавання та віднімання від середнього значення Z _α/2 , помноженого на стандартне відхилення (σ) і поділеного на квадратний корінь із розміру вибірки (n). Тому формула для обчислення довірчого інтервалу середнього має вигляд:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Для великих розмірів вибірки та 95% рівня довіри критичне значення становить Z _α/2 = 1,96, а для 99% рівня довіри критичне значення становить Z _α/2 = 2,576.

Наведена вище формула використовується, коли відома дисперсія сукупності. Однак, якщо дисперсія генеральної сукупності невідома, що є найпоширенішим випадком, довірчий інтервал для середнього обчислюється за такою формулою:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

золото:

$\overline{x}$

це зразок засобів.
$t_{\alpha/2}$

– значення t-розподілу Стьюдента n-1 ступенів свободи з імовірністю α/2.
$s$

є стандартним відхиленням вибірки.
$n$

це розмір вибірки.

➤ Див.: Приклад розрахунку довірчого інтервалу середнього

Довірчий інтервал для дисперсії

Для розрахунку довірчого інтервалу для дисперсії сукупності використовується розподіл хі-квадрат. Точніше, формула для розрахунку довірчого інтервалу для дисперсії така:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

золото:

$n$

це розмір вибірки.
$s$

є стандартним відхиленням вибірки.
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

це значення розподілу хі-квадрат із n-1 ступенями свободи для ймовірності, меншої за α/2.
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

це значення розподілу хі-квадрат із n-1 ступенями свободи для ймовірності, більшої за 1-α/2.

➤ Див.: Приклад розрахунку довірчого інтервалу для дисперсії

Довірчий інтервал для пропорції

Довірчий інтервал для пропорції обчислюється шляхом додавання та віднімання від пропорції вибірки значення Z _α/2 , помноженого на квадратний корінь із пропорції вибірки (p), помноженого на 1-p і поділеного на розмір вибірки (n). Отже, формула для розрахунку довірчого інтервалу для частки має вигляд:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

золото:

$p$

є пропорцією зразка.
$n$

це розмір вибірки.
$Z_{\alpha/2}$

квантиль стандартного нормального розподілу, що відповідає ймовірності α/2. Для великих розмірів вибірки та 95% рівня довіри він зазвичай близький до 1,96, а для 99% рівня довіри він зазвичай близький до 2,576.

➤ Див.: Приклад розрахунку довірчого інтервалу для пропорції

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке довірчий інтервал?

Фактори, що впливають на довірчий інтервал

Як розрахувати довірчий інтервал

Довірчий інтервал для середнього

Довірчий інтервал для дисперсії

Довірчий інтервал для пропорції

Про автора

Редакція

Додати коментар