Як знайти довірчі інтервали в r (з прикладами)

Довірчий інтервал – це діапазон значень, який, ймовірно, містить параметр сукупності з певним рівнем довіри.

Розраховується за такою загальною формулою:

Довірчий інтервал = (точкова оцінка) +/- (критичне значення)* (стандартна помилка)

Ця формула створює інтервал із нижньою межею та верхньою межею, який, ймовірно, містить параметр сукупності з певним рівнем достовірності:

Довірчий інтервал = [нижня межа, верхня межа]

У цьому посібнику пояснюється, як обчислити такі довірчі інтервали в R:

1. Довірчий інтервал для середнього

2. Довірчий інтервал для різниці середніх

3. Довірчий інтервал для пропорції

4. Довірчий інтервал різниці пропорцій

Ходімо!

Приклад 1: Довірчий інтервал для середнього

Ми використовуємо таку формулу, щоб обчислити довірчий інтервал для середнього :

Довірчий інтервал = x +/- t _{n-1, 1-α/2} *(s/√n)

золото:

• x : вибірка середніх
• t: t-критичне значення
• s: вибіркове стандартне відхилення
• n: розмір вибірки

Приклад: припустимо, ми збираємо випадкову вибірку черепах із такою інформацією:

• Обсяг вибірки n = 25
• Середня маса зразка х = 300
• Стандартне відхилення вибірки s = 18,5

Наступний код показує, як обчислити 95% довірчий інтервал для справжньої середньої ваги популяції черепах:

 #input sample size, sample mean, and sample standard deviation
n <- 25
xbar <- 300 
s <- 18.5

#calculate margin of error
margin <- qt(0.975,df=n-1)*s/sqrt(n)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- xbar - margin
low

[1] 292.3636

high <- xbar + margin
high

[1] 307.6364

95% довірчий інтервал для справжньої середньої ваги популяції черепах становить [292,36, 307,64] .

Приклад 2: Довірчий інтервал для різниці середніх

Ми використовуємо наступну формулу для розрахунку довірчого інтервалу для різниці в середніх сукупності :

Довірчий інтервал = ( x ₁ – x ₂ ) +/- t*√ ((s _p ² /n ₁ ) + (s _p ² /n ₂ ))

золото:

• x ₁ , x ₂ : середнє значення зразка 1, середнє значення зразка 2
• t: t-критичне значення на основі рівня довіри та (n ₁ + n ₂ -2) ступенів свободи
• s _p ² : сукупна дисперсія, обчислена як ((n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² ) / (n ₁ +n ₂ -2)
• t: t-критичне значення
• n ₁ , n ₂ : розмір вибірки 1, розмір вибірки 2

Приклад: припустимо, ми хочемо оцінити різницю в середній вазі між двома різними видами черепах. Тому ми збираємо випадкову вибірку з 15 черепах з кожної популяції. Ось підсумкові дані для кожного зразка:

Зразок 1:

• х1 = ₃₁₀
• s ₁ = 18,5
• n ₁ = 15

Зразок 2:

• х2 ₌ 300
• _s2 = 16,4
• _n2 = 15

У наведеному нижче коді показано, як обчислити 95% довірчий інтервал для справжньої різниці в середніх значеннях сукупності:

 #input sample size, sample mean, and sample standard deviation
n1 <- 15
xbar1 <- 310 
s1 <- 18.5

n2 <- 15
xbar2 <- 300
s2 <- 16.4

#calculate pooled variance
sp = ((n1-1)*s1^2 + (n2-1)*s2^2) / (n1+n2-2)

#calculate margin of error
margin <- qt(0.975,df=n1+n2-1)*sqrt(sp/n1 + sp/n2)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- (xbar1-xbar2) - margin
low

[1] -3.055445

high <- (xbar1-xbar2) + margin
high

[1] 23.05544

95% довірчий інтервал для справжньої різниці між середніми сукупностями становить [-3,06, 23,06] .

Приклад 3: Довірчий інтервал для пропорції

Ми використовуємо таку формулу, щоб обчислити довірчий інтервал для пропорції :

Довірчий інтервал = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

золото:

• p: частка зразка
• z: вибране значення z
• n: розмір вибірки

Приклад: припустимо, ми хочемо оцінити частку жителів округу, які підтримують певний закон. Ми відбираємо випадкову вибірку зі 100 мешканців і запитуємо їхню позицію щодо закону. Ось результати:

• Обсяг вибірки n = 100
• Частка на користь закону р = 0,56

Наступний код показує, як обчислити 95% довірчий інтервал для справжньої частки жителів округу, які підтримують закон:

 #input sample size and sample proportion
n <- 100
p <- .56

#calculate margin of error
margin <- qnorm(0.975)*sqrt(p*(1-p)/n)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- p - margin
low

[1] 0.4627099

high <- p + margin
high

[1] 0.6572901

95% довірчий інтервал для справжньої частки жителів округу, які підтримують закон, становить [0,463, 0,657] .

Приклад 4: Довірчий інтервал для різниці в пропорціях

Ми використовуємо наступну формулу для розрахунку довірчого інтервалу для різниці в пропорціях :

Довірчий інтервал = (p ₁ –p ₂ ) +/- z*√(p ₁ (1-p ₁ )/n ₁ + p ₂ (1-p ₂ )/n ₂ )

золото:

• p ₁ , p ₂ : частка зразка 1, частка зразка 2
• z: z-критичне значення на основі рівня довіри
• n ₁ , n ₂ : розмір вибірки 1, розмір вибірки 2

Приклад. Припустімо, ми хочемо оцінити різницю між часткою жителів, які підтримують певний закон у графстві А, та часткою тих, хто підтримує закон у графстві Б. Ось підсумкові дані для кожної вибірки:

Зразок 1:

• n ₁ = 100
• p ₁ = 0,62 (тобто 62 мешканці зі 100 підтримують закон)

Зразок 2:

• _n2 = 100
• p ₂ = 0,46 (тобто 46 мешканців зі 100 підтримують закон)

У наведеному нижче коді показано, як обчислити 95% довірчий інтервал для справжньої різниці в частці жителів, які підтримують закон між округами:

 #input sample sizes and sample proportions
n1 <- 100
p1 <- .62

n2 <- 100
p2 <- .46

#calculate margin of error
margin <- qnorm(0.975)*sqrt(p1*(1-p1)/n1 + p2*(1-p2)/n2)

#calculate lower and upper bounds of confidence interval
low <- (p1-p2) - margin
low

[1] 0.02364509


high <- (p1-p2) + margin
high

[1] 0.2963549

95% довірчий інтервал для справжньої різниці у частці жителів, які підтримують закон між округами, становить [0,024, 0,296] .

Ви можете знайти більше підручників з R тут .