Довірчий інтервал для дисперсії

за Редакція 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке довірчий інтервал для дисперсії та для чого він використовується в статистиці. Так само ви дізнаєтесь, як розрахувати довірчий інтервал дисперсії та покрокову вправу.

Що таке довірчий інтервал для дисперсії?

Довірчий інтервал для дисперсії – це інтервал, який наближено дорівнює значенням, між якими знаходиться дисперсія сукупності. Тобто довірчий інтервал для дисперсії вказує максимальне значення та мінімальне значення дисперсії сукупності для рівня довіри.

Наприклад, якщо 95% довірчий інтервал для дисперсії генеральної сукупності становить (55,75), це означає, що дисперсія генеральної сукупності буде між 55 і 75 з імовірністю 95%.

Таким чином, довірчий інтервал для дисперсії використовується для оцінки двох значень, між якими лежить дисперсія сукупності. Дисперсію вибірки можна обчислити, але дисперсія генеральної сукупності зазвичай невідома, тому довірчий інтервал дисперсії дозволяє приблизно визначити її значення.

Формула довірчого інтервалу для дисперсії

Для розрахунку довірчого інтервалу для дисперсії сукупності використовується розподіл хі-квадрат . Точніше, формула для розрахунку довірчого інтервалу для дисперсії виглядає так:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

золото:

$n$

це розмір вибірки.
$s$

є стандартним відхиленням вибірки.
$\chi_{n-1;\alpha/2}$

це значення розподілу хі-квадрат із n-1 ступенями свободи для ймовірності, меншої за α/2.
$\chi_{n-1;1-\alpha/2}$

це значення розподілу хі-квадрат із n-1 ступенями свободи для ймовірності, більшої за 1-α/2.

Приклад розрахунку довірчого інтервалу для дисперсії

Щоб ви могли краще зрозуміти концепцію, у цьому розділі ми залишимо вам розв’язаний приклад того, як обчислюється довірчий інтервал для дисперсії.

У нас є вибірка з 8 спостережень зі значеннями, наведеними нижче. Який довірчий інтервал для дисперсії сукупності з рівнем довіри 1-α=95%?

206 203 201 212
194 176 208 201

Як пояснювалося вище, формула для визначення довірчого інтервалу дисперсії генеральної сукупності така:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

Тому, щоб знайти довірчий інтервал, ми повинні спочатку обчислити вибіркове стандартне відхилення:

$s=11,13$

➤ Див.: Як розрахувати стандартне відхилення

По-друге, ми дивимося на таблицю розподілу хі-квадрат, щоб побачити, які її відповідні значення нам потрібні:

$\begin{array}{c}\chi_{n-1;\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,025}}=16,013\end{array}$

$\begin{array}{c}\chi_{n-1;1-\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,975}}=1,690\end{array}$

➤ Див.: Значення таблиці розподілу хі-квадрат

Отже, ми підключаємо значення до формули довірчого інтервалу для дисперсії та виконуємо обчислення:

$\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)$

$\displaystyle \left( (8-1)\frac{11,13^2}{16,013} \ , \ (8-1)\frac{11,13^2}{1,690}\right)$

$\displaystyle \left( 54,15 \ , \ 513,10\right)$

У підсумку, дисперсія досліджуваної популяції становить від 54,15 до 513,10 з рівнем довіри 95%.

➤ Див.: Довірчий інтервал для середнього

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке довірчий інтервал для дисперсії?

Формула довірчого інтервалу для дисперсії

Приклад розрахунку довірчого інтервалу для дисперсії

Про автора

Редакція

Додати коментар