Довірчий інтервал для пропорції

за Редакція 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке довірчий інтервал для пропорції та для чого він використовується в статистиці. Так само ви дізнаєтесь, як обчислити довірчий інтервал пропорції, а також розв’яжете вправу, щоб краще зрозуміти концепцію.

Що таке довірчий інтервал пропорції?

Довірчий інтервал для пропорції – це інтервал, який забезпечує діапазон допустимих значень частки сукупності. Тобто довірчий інтервал для пропорції вказує на максимальне значення та мінімальне значення, між якими пропорція сукупності лежить з похибкою.

Наприклад, якщо довірчий інтервал для частки сукупності з рівнем довіри 95% становить (0,73, 0,81), це означає, що частка сукупності становить від 73% до 81% з імовірністю 95%.

Тому довірчий інтервал частки використовується для оцінки значення частки сукупності, яка відповідає певним характеристикам.

Як ми побачимо в наступному розділі, довірчий інтервал для частки залежить від частки вибірки та кількості спостережень у вибірці.

Формула довірчого інтервалу для пропорції

Довірчий інтервал для пропорції обчислюється шляхом додавання та віднімання від пропорції вибірки значення Z _α/2 , помноженого на квадратний корінь із пропорції вибірки (p), помноженого на 1-p і поділеного на розмір вибірки (n). Отже, формула для розрахунку довірчого інтервалу для частки має вигляд:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

золото:

$p$

є пропорцією зразка.
$n$

це розмір вибірки.
$Z_{\alpha/2}$

квантиль стандартного нормального розподілу, що відповідає ймовірності α/2. Для великих розмірів вибірки та 95% рівня довіри він зазвичай близький до 1,96, а для 99% рівня довіри він зазвичай близький до 2,576.

Приклад розрахунку довірчого інтервалу для пропорції

Щоб ви могли побачити, як обчислюється довірчий інтервал для пропорції, ми залишаємо вам конкретний приклад крок за кроком.

Страхова компанія хоче провести дослідження ринку та визначити, скільки людей у країні мають страхування життя. Для цього аналізується випадкова вибірка з 700 осіб, і ми приходимо до висновку, що 40% вибірки мають страхування життя. Який довірчий інтервал при рівні довіри 95% для частки населення країни?

Щоб визначити довірчий інтервал частки населення, нам потрібно використати формулу, яку ми бачили вище:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

У цьому випадку ми хочемо, щоб рівень довіри довірчого інтервалу становив 95%, тому значення Z _α/2, яке нам потрібно взяти, дорівнює 1,96.

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

Постановка задачі вже говорить нам, що розмір вибірки становить n=700, а спостережувана частка у вибірці становить p=0,40, тому ми підставляємо дані у формулу довірчого інтервалу для пропорції та обчислюємо межі інтервалу:

$\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)$

$\displaystyle \left(0,40-1,96\cdot \sqrt{\frac{0,40\cdot (1-0,40)}{700}}\ , \ 0,40+1,96\cdot \sqrt{\frac{0,40\cdot (1-0,40)}{700}\right)$

$\displaystyle \left(0,36 \ , \ 0,44\right)$

Підсумовуючи, частка досліджуваної популяції становить від 36% до 44% з рівнем довіри 95%.

➤ Див.: Довірчий інтервал для середнього
➤ Див.: Довірчий інтервал для дисперсії

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке довірчий інтервал пропорції?

Формула довірчого інтервалу для пропорції

Приклад розрахунку довірчого інтервалу для пропорції

Про автора

Редакція

Додати коментар