Загальне правило множення (пояснення та приклади)

Загальне правило множення стверджує, що ймовірність будь-яких двох подій, A і B, обидві мають місце, можна обчислити таким чином:

P(A і B) = P(A) * P(B|A)

Вертикальна смуга | означає «даний». Таким чином, P(B|A) можна прочитати як «ймовірність того, що B відбудеться, враховуючи , що A відбулося».

Якщо події A і B незалежні, тоді P(B|A) просто дорівнює P(B), і правило можна спростити таким чином:

P(A і B) = P(A) * P(B)

Давайте розглянемо кілька прикладів незалежних і залежних подій, щоб побачити, як ми можемо застосувати це загальне правило множення на практиці.

Загальне правило множення для залежних подій

Наступні приклади ілюструють, як використовувати загальне правило множення для знаходження ймовірностей, пов’язаних із двома залежними подіями. У кожному прикладі ймовірність появи другої події залежить від результату першої події.

Приклад 1: кулі в урні

Урна містить 4 червоні кулі та 3 зелені кулі. Боб випадковим чином вибере 2 кулі з урни, не замінюючи їх. Яка ймовірність того, що він вибере 2 червоні кулі?

Рішення: ймовірність того, що він вибере червону кульку з першої спроби, дорівнює 4/7. Після видалення цієї кулі ймовірність того, що він вибере червону кулю з другої спроби, становить 3/6. Отже, ймовірність того, що він вибере 2 червоні кулі, можна обчислити наступним чином:

P (обидва червоні) = 4/7 * 3/7 ≈ 0,2249

Приклад 2: карти в колоді

Колода карт містить 26 чорних карт і 26 червоних карт. Деббі випадковим чином вибере 2 карти з колоди, не замінюючи їх. Яка ймовірність того, що вона вибере 2 червоні картки?

Рішення: ймовірність того, що вона вибере червону картку з першої спроби, становить 26/52. Після видалення цієї картки ймовірність того, що вона вибере червону картку з другої спроби, становить 25/51. Отже, ймовірність того, що вона вибере 2 червоні картки, можна розрахувати таким чином:

P (обидва червоні) = 26/52 * 25/51 ≈ 0,2451

Загальне правило множення незалежних подій

Наступні приклади ілюструють, як використовувати загальне правило множення для знаходження ймовірностей, пов’язаних із двома незалежними подіями. У кожному прикладі ймовірність появи другої події не залежить від результату першої події.

Приклад 1: підкинути дві монети

Припустимо, ми беремо дві монети. Яка ймовірність того, що дві монети зійдуть головами?

Рішення: ймовірність того, що перша монета випаде головами, дорівнює 1/2. Незалежно від того, на яку сторону впаде перша монета, ймовірність того, що друга монета впаде головами, також дорівнює 1/2. Таким чином, ймовірність того, що дві монети випадуть головами, можна обчислити таким чином:

P (обидві землі на головах) = 1/2 * 1/2 = 0,25

Приклад 2: Киньте два кубики

Припустимо, ми кидаємо два кубики одночасно. Яка ймовірність того, що обидва кубики випадуть на число 1?

Рішення: ймовірність того, що перший кубик випаде на «1», дорівнює 1/6. Незалежно від того, на яку сторону впаде перший кубик, ймовірність того, що другий кубик впаде на «1», також дорівнює 1/6. Таким чином, ймовірність того, що обидва кубики випадуть на «1», можна обчислити таким чином:

P (Обидві землі на «1») = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278