Закон повної ймовірності: визначення та приклади

У теорії ймовірностей закон повної ймовірності є корисним способом визначення ймовірності події A , коли ми безпосередньо не знаємо ймовірності A , але знаємо, що події B ₁ , B ₂ , B ₃ … утворюють розділ. простору вибірки S.

Цей закон визначає наступне:

Закон повної ймовірності

Якщо B ₁ , B ₂ , B ₃ … утворюють розбиття вибіркового простору S , то ми можемо обчислити ймовірність події A наступним чином:

P( A ) = ΣP( A | B _i )*P( B _i )

Зрозуміти цей закон найлегше на простому прикладі.

Припустимо, що в ящику є два мішки з такими кульками:

• Пакет 1: 7 червоних кульок і 3 зелених кульки
• Мішок 2: 2 червоних кульки та 8 зелених кульок

Якщо ми навмання виберемо один із мішків, а потім навмання виберемо кульку з цього мішка, яка ймовірність того, що це зелена кулька?

У цьому прикладі нехай P( G ) = ймовірність вибору зеленого мармуру. Це ймовірність, яка нас цікавить, але ми не можемо обчислити її безпосередньо.

Замість цього нам потрібно використати умовну ймовірність G , задану деяку подію B , де B _i утворюють розділ вибіркового простору S. У цьому прикладі ми маємо наступні умовні ймовірності:

• P(G| _B1 ) = 3/10 = 0,3
• P(G| _B2 ) = 8/10 = 0,8

Отже, використовуючи закон повної ймовірності, ми можемо обчислити ймовірність вибору зеленого мармуру наступним чином:

• P(G) = ΣP(G|B _i )*P(B _i )
• P(G) = P(G|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(G|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(G) = (0,3)*(0,5) + (0,8)*(0,5)
• P(G) = 0,55

Якщо ми навмання виберемо один із мішків, а потім навмання виберемо кульку з цього мішка, ймовірність того, що ми виберемо зелену кульку, дорівнює 0,55 .

Прочитайте наступні два приклади, щоб закріпити ваше розуміння закону повної ймовірності.

Приклад 1: Віджети

Компанія А постачає 80% віджетів в автомобільну майстерню, і лише 1% її віджетів виявляється несправним. Компанія B постачає решту 20% віджетів в автомайстерню, і 3% її віджетів виявляються несправними.

Якщо клієнт випадково купує віджет в автосервісі, яка ймовірність того, що він несправний?

Якщо прийняти P( D ) = ймовірність того, що віджет несправний, а P(B _i ) ймовірність того, що віджет походить від однієї з компаній, тоді ми можемо обчислити ймовірність придбання несправного віджета наступним чином:

• P(D) = ΣP(D|B _i )*P(B _i )
• P(D) = P(D|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(D|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(D) = (0,01)*(0,80) + (0,03)*(0,20)
• P(D) = 0,014

Якщо ми випадково купимо віджет у цьому автомагазині, ймовірність того, що він несправний, дорівнює 0,014 .

Приклад 2: Ліси

Ліс А займає 50% загальної площі певного парку, а 20% рослин у цьому лісі є отруйними. Ліс B займає 30% загальної площі, а 40% рослин, які в ньому містяться, отруйні. Ліс С займає решту 20% території і 70% рослин, що там зустрічаються, є отруйними.

Якщо ми навмання зайдемо в цей парк і зберемо рослину з землі, наскільки ймовірно, що вона отруйна?

Якщо прийняти P( P ) = ймовірність того, що рослина отруйна, а P(B _i ) ймовірність того, що ми увійшли в один із трьох лісів, тоді ми можемо обчислити ймовірність того, що навмання вибрана рослина є токсичною, як:

• P(P) = ΣP(P|B _i )*P(B _i )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• P(P) = (0,20)*(0,50) + (0,40)*(0,30) + (0,70)*(0,20)
• P(P) = 0,36

Якщо ми навмання вибираємо рослину з землі, ймовірність того, що вона токсична, дорівнює 0,36 .

Додаткові ресурси

Наступні навчальні посібники надають додаткову інформацію про ймовірні теми:

Як знайти середнє значення розподілу ймовірностей
Як знайти стандартне відхилення розподілу ймовірностей
Калькулятор розподілу ймовірностей