Властивості ймовірності

за Редакція 1 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

У цій статті ми пояснюємо, що таке ймовірнісні властивості, і, крім того, ви зможете побачити конкретний приклад кожної ймовірнісної властивості.

Які властивості ймовірності?

Властивості ймовірності такі:

Імовірність однієї події еквівалентна одиниці мінус ймовірність протилежної події.
Імовірність неможливої події завжди дорівнює нулю.
Якщо подія включена в іншу подію, ймовірність першої події має бути меншою або дорівнювати ймовірності другої події.
Ймовірність об’єднання двох подій дорівнює сумі ймовірностей кожної окремої події мінус ймовірність їх перетину.
Дано набір несумісних подій два на два, їх спільна ймовірність обчислюється шляхом додавання ймовірності появи кожної події.
Сума ймовірностей усіх елементарних подій у вибірковому просторі дорівнює 1.

Це просто короткий виклад основних властивостей ймовірності. Нижче наведено більш детальне пояснення та реальні приклади кожної властивості.

Властивість 1

Імовірність однієї події еквівалентна одиниці мінус ймовірність протилежної події. Отже, сума ймовірності однієї події плюс ймовірність протилежної їй події дорівнює 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Наприклад, ймовірність випадіння числа 5 дорівнює 0,167, оскільки ми можемо визначити ймовірність викидання будь-якого іншого числа за допомогою цієї ймовірнісної властивості:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Властивість 2

Імовірність неможливої події дорівнює 0. Логічно, якщо певний результат випадкового експерименту не може відбутися, то ймовірність його появи дорівнює нулю.

$P(\varnothing)=0$

Наприклад, ми не можемо отримати результат числа 7, кинувши один кубик, тому ймовірність цієї події дорівнює нулю.

$P(7)=0$

Властивість 3

Якщо подія включена в іншу подію, ймовірність першої події має бути меншою або дорівнювати ймовірності другої події.

Очевидно, що якщо подія включена в набір подій, то ймовірність появи окремої події не може бути більшою, ніж у всієї множини.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Наприклад, ймовірність викинути число 4 дорівнює 0,167. З іншого боку, ймовірність отримати парне число (2, 4, 6) дорівнює 0,50. Таким чином, ця властивість теорії ймовірностей виконується.

$P(4)=0,167$

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero par})&=P(2)+P(4)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

$P(4) <h3 class="wp-block-heading"><span class="ez-toc-section" id="propiedad-4"></span> Propriété 4<span class="ez-toc-section-end"></span></h3> <p> La probabilité d’union de deux événements est égale à la somme de la probabilité que chaque événement se produise séparément moins la probabilité de leur intersection. En théorie des probabilités, cette propriété est connue sous le nom de règle de somme et sa formule est la suivante :[latex]P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”107″ width=”2040″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <p> Ви можете побачити конкретні приклади застосування цієї властивості, натиснувши тут: </p> <div style=$ ➤ Дивіться: Розв’язаний приклад правила додавання

Властивість 5

Дано набір несумісних подій два на два, їхню спільну ймовірність можна обчислити шляхом додавання ймовірності появи кожної події.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Наприклад, різні результати кидання кубика є несумісними подіями, оскільки, кинувши одне число, ви не зможете отримати інше. Таким чином, щоб знайти ймовірність отримання непарного числа, можна додати ймовірність появи різних непарних чисел:

$\begin{aligned}P(\text{n\'umero impar})&=P(1\cup3\cup5)\\[2ex]&=P(1)+P(3)+P(5)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=0,5\end{aligned}$

Властивість 6

Сума ймовірностей усіх елементарних подій у вибірковому просторі дорівнює 1.

Очевидно, що випадковий експеримент повинен призвести до елементарної події в просторі вибірки, тому елементарна подія в просторі вибірки відбуватиметься завжди, і тому загальна ймовірність появи в просторі вибірки має становити 100%.

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

Наприклад, вибірковий простір для кидання кубика дорівнює Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}, тому сума ймовірностей усіх можливих результатів еквівалентна 1:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

$\begin{aligned}P(\Omega)&=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)\\[2ex]&=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167\\[2ex]&=1\end{aligned}$

Аксіоми ймовірності

Окрім властивостей ймовірності, які ми щойно побачили, ми повинні мати на увазі, що існують також аксіоми ймовірності, які є основними правилами, що визначають ймовірності подій.

Отже, аксіоми ймовірності такі:

Аксіома ймовірності 1 : ймовірність події не може бути негативною.
Аксіома ймовірності 2 : ймовірність певної події дорівнює 1.
Аксіома ймовірності 3 : ймовірність набору виняткових подій дорівнює сумі всіх ймовірностей.

Детальніше про аксіоми ймовірності та приклади їх застосування можна дізнатися тут:

➤ Див.: Аксіоми ймовірності

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше