Як знайти ймовірність a і b: на прикладах

За наявності двох подій, A і B, «знайти ймовірність A і B» означає знайти ймовірність того, що подія A і B відбудуться .

Зазвичай ми записуємо цю ймовірність двома способами:

• P(A і B) – письмова форма
• P(A∩B) – Позначення форми

Те, як ми обчислюємо цю ймовірність, залежить від того, чи є події A та B незалежними чи залежними.

Якщо A і B незалежні , то формула, яку ми використовуємо для обчислення P(A∩B), проста:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

Якщо A і B залежні , то формула, яку ми використовуємо для обчислення P(A∩B):

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

Зауважте , що P(B|A) — це умовна ймовірність події B   відбувається подія А.

Наведені нижче приклади показують, як використовувати ці формули на практиці.

Приклади P(A∩B) для незалежних подій

У наступних прикладах показано, як обчислити P(A∩B), коли A і B є незалежними подіями.

Приклад 1. Імовірність того, що ваша улюблена бейсбольна команда виграє Світову серію, становить 1/30, а ймовірність того, що ваша улюблена футбольна команда виграє Суперкубок, становить 1/32. Яка ймовірність того, що ваші дві улюблені команди виграють свої чемпіонати?

Рішення: у цьому прикладі ймовірність кожної події не залежить від іншої. Таким чином, ймовірність обох випадків розраховується наступним чином:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = 0,00104.

Приклад 2: ви кидаєте кубик і монетку одночасно. Яка ймовірність того, що кубик впаде на 4, а монета на решку?

Рішення: у цьому прикладі ймовірність кожної події не залежить від іншої. Таким чином, ймовірність обох випадків розраховується наступним чином:

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Приклади P(A∩B) для залежних подій

У наступних прикладах показано, як обчислити P(A∩B), коли A і B є залежними подіями.

Приклад 1: Урна містить 4 червоні кулі та 4 зелені кулі. Ви випадково вибираєте кулю з урни. Потім без заміни ви вибираєте інший м’яч. Яка ймовірність того, що ви щоразу вибиратимете червону кульку?

Рішення: у цьому прикладі колір кулі, який ви вибрали вперше, впливає на ймовірність вибору червоної кулі вдруге. Тому дві події є залежними.

Визначимо подію А як ймовірність вибору червоної кульки вперше. Ця ймовірність P(A) = 4/8. Далі нам потрібно знайти ймовірність вибору червоної кулі знову, враховуючи , що перша куля була червоною. У цьому випадку залишилося вибрати лише 3 червоні кулі, а всього в урні лише 7 куль. Отже, P(B|A) дорівнює 3/7.

Таким чином, ймовірність того, що ми щоразу вибираємо червону кульку, обчислюватиметься таким чином:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Приклад 2: У певному класі 15 хлопчиків і 12 дівчаток. Припустимо, ми помістили імена кожного учня в мішок. Навмання вибираємо ім’я з мішка. Потім без заміни вибираємо інше ім’я. Яка ймовірність того, що обидва імена є хлопчиками?

Рішення: у цьому прикладі ім’я, яке ми обираємо вперше, впливає на ймовірність вибору імені хлопчика на другому малюнку. Тому дві події є залежними.

Визначимо подію А як ймовірність вибору хлопчика вперше. Ця ймовірність P(A) = 15/27. Далі нам потрібно знайти ймовірність вибору хлопчика знову, враховуючи , що ім’я було хлопчиком. У цьому випадку залишилося вибрати лише 14 хлопчиків, а всього в сумці всього 26 імен. Таким чином, P(B|A) дорівнює 14/26.

Таким чином, ймовірність того, що ми щоразу вибираємо ім’я хлопчика, обчислюватиметься так:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.