Імовірність об'єднання подій

У цій статті ми пояснюємо, як обчислити об’єднану ймовірність подій. Так ви дізнаєтеся, що таке формула ймовірності об’єднання подій і, крім того, вправи, розв’язані крок за кроком.

Що таке союз подій?

У теорії ймовірностей об’єднання подій — це подійна операція, результат якої складається з усіх елементарних подій множин операції. Іншими словами, об’єднання двох подій A і B — це набір подій, які знаходяться в A, B або в обох.

Об’єднання двох подій позначається символом ⋃. Отже, об’єднання подій A і B записується A⋃B.

Наприклад, у випадковому експерименті з киданням кубика, якщо одна подія викидає непарне число A={1, 3, 5}, а інша подія викидає число менше трьох B={1, 2}, об’єднання двох події A⋃B={1, 2, 3, 5}.

Формула ймовірності об’єднання подій

Ймовірність об’єднання двох подій дорівнює ймовірності першої події плюс ймовірність другої події мінус ймовірність перетину двох подій.

Іншими словами, формула ймовірності об’єднання двох подій має вигляд P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

золото:

• 

  це ймовірність об’єднання подій A і B.

• 

  це ймовірність того, що подія А відбудеться.

• 

  це ймовірність того, що подія B відбудеться.

• 

  це ймовірність перетину подій A і B.

Однак, якщо дві події несумісні, перетин між двома подіями дорівнює нулю. Тому ймовірність об’єднання двох несумісних подій обчислюється додаванням ймовірності появи кожної події.

Розв’язані приклади ймовірності об’єднання подій

Щоб ви могли побачити, як обчислюється ймовірність об’єднання двох подій, ми залишаємо вам два приклади, розв’язані крок за кроком. Спочатку ми знайдемо ймовірність об’єднання двох несумісних подій, а потім двох сумісних подій, оскільки розрахунок дещо відрізняється.

Ймовірність об’єднання двох несумісних подій

• Ми поклали в ящик 10 синіх куль, 6 помаранчевих і 4 зелених кульки. Яка ймовірність витягнути синю або оранжеву кульку?

У вправі нам пропонується визначити ймовірність того, що відбудеться та чи інша подія. Тому для розв’язування задачі необхідно використати формулу об’єднання двох подій:

Отже, ми спочатку обчислюємо ймовірність кожної події окремо, використовуючиформулу правила Лапласа :

Однак у цьому випадку обидві події не можуть відбуватися одночасно, оскільки це дві несумісні події. Отже, якщо ми намалюємо синю кулю, ми більше не зможемо намалювати помаранчеву кулю, і навпаки.

Отже, спільна ймовірність обох подій дорівнює нулю, тому формула спрощена:

Отже, розрахунок ймовірності зловити синю або помаранчеву кулю виглядає наступним чином:

Коротше кажучи, ймовірність вилучити синю або помаранчеву кулю з коробки становить 80%.

Ймовірність об’єднання двох сумісних подій

• Якщо ми підкинемо монету двічі, яка ймовірність отримати голову принаймні в одному підкиданні?

У цьому випадку події сумісні, оскільки при першому кидку ми можемо отримати «голови», а при другому — «решки». Тому формула для розрахунку ймовірності об’єднання подій не є спрощеною і має такий вигляд:

Отже, спочатку нам потрібно обчислити ймовірність отримання «голов» під час підкидання монети, застосувавши правило Лапласа:

Тепер обчислимо ймовірність перетину двох подій за допомогою формули правила множення :

Нарешті, щоб знайти ймовірність того, що голови випадуть хоча б в одному з двох кидків, просто підставте значення у формулу та виконайте розрахунок:

Підсумовуючи, ймовірність того, що коли ви двічі підкинете монету, вона принаймні один раз випаде орелами, становить 75%.

Властивості об’єднань подій

У теорії ймовірностей функціонування об’єднання подій відповідає наступним властивостям:

• Комутативна властивість: порядок подій в об’єднанні не змінює результат операції.

• Асоціативна властивість: об’єднання трьох подій можна обчислити в будь-якому порядку, оскільки результат однаковий.

• Розподільна властивість: об’єднання подій реалізує розподільну властивість з перетином подій.