Як знайти ймовірність хоча б одиниці? успіх

Імовірність говорить нам, наскільки ймовірно подія відбудеться.

Наприклад, припустимо, що 4% усіх учнів певної школи віддають перевагу математиці як улюблений предмет. Якщо ми виберемо учня навмання, ймовірність того, що він віддасть перевагу математиці, становитиме 4%.

Але нас часто цікавлять ймовірності, що включають кілька випробувань. Наприклад, якщо ми навмання виберемо трьох студентів, яка ймовірність того, що принаймні один із них віддасть перевагу математиці?

Щоб відповісти на це запитання, ми можемо скористатися такими кроками:

1. Знайти ймовірність того, що учень не віддає перевагу математиці.

Ми знаємо, що ймовірність того, що учень віддає перевагу математиці, становить P (віддає перевагу математиці) = 0,04.

Таким чином, ймовірність того, що учень не віддає перевагу математиці, становить P(не віддає перевагу математиці) = 0,96.

2. Знайти ймовірність того, що всі обрані учні не віддають перевагу математиці.

Оскільки ймовірність того, що кожен учень віддає перевагу математиці, не залежить одна від одної, ми можемо просто помножити окремі ймовірності разом:

P (не всі учні віддають перевагу математиці) = 0,96 * 0,96 * 0,96 = 0,8847.

Це означає ймовірність того, що троє студентів не віддають перевагу математиці як своєму улюбленому предмету.

3. Знайти ймовірність того, що хоча б один учень віддає перевагу математиці.

Нарешті, ймовірність того, що хоча б один учень віддає перевагу математиці, розраховується наступним чином:

P (принаймні один віддає перевагу математиці) = 1 – P (не всі віддають перевагу математиці) = 1 – .8847 = .1153 .

Виявляється, ми можемо використовувати таку загальну формулу, щоб знайти ймовірність принаймні одного успіху в серії випробувань:

 P(at least one success) = 1 - P(failure in one trial) n

У наведеній вище формулі n означає загальну кількість випробувань.

Наприклад, ми могли б використати цю формулу, щоб знайти ймовірність того, що принаймні один учень із випадкової вибірки з трьох віддає перевагу математиці як своєму улюбленому предмету:

P (принаймні один учень віддає перевагу математиці) = 1 – (0,96) ³ = 0,1153 .

Це відповідає відповіді, яку ми отримали, використовуючи описаний вище триетапний процес.

Використовуйте наступні приклади як додаткову практику, щоб визначити ймовірність «принаймні одного» успіху.

За темою: Як знайти ймовірність «принаймні двох» успіхів

Приклад 1: Штрафні кидки

Майк виконує 20% своїх штрафних кидків. Якщо він виконує 5 штрафних кидків, знайдіть ймовірність того, що він виконує принаймні один.

рішення:

• P(робить принаймні одну) = 1 – P(пропускає дану спробу) ⁿ
• P(робить принаймні один) = 1 – (0,80) ⁵
• P(робить принаймні один) = 0,672

Імовірність того, що Майк виконає принаймні один штрафний кидок з кожних п’яти спроб, становить 0,672 .

Приклад 2: Віджети

На даній фабриці 2% усіх віджетів є несправними. У випадковій вибірці з 10 віджетів визначте ймовірність того, що принаймні один несправний.

рішення:

• P (принаймні один дефектний) = 1 – P (даний віджет не дефектний) ⁿ
• P (принаймні один дефектний) = 1 – (0,98) ¹⁰
• P(принаймні один дефект) = 0,183

Імовірність того, що принаймні один віджет є несправним у випадковій вибірці з 10, становить 0,183 .

Приклад 3: дрібниці

Боб правильно відповідає на 75% простих питань. Якщо ми поставимо йому 3 тривіальних питання, знайдіть ймовірність того, що він відповість хоча б на одне неправильно.

рішення:

• P(принаймні одна помилка) = 1 – P(дана відповідь правильна) ⁿ
• P (принаймні одне неправильне) = 1 – (0,75) ³
• P (принаймні одне неправильне) = 0,578

Імовірність того, що він відповість хоча б на одне запитання неправильно, становить 0,578 .

Бонус: калькулятор ймовірності «принаймні один»

Використовуйте цей калькулятор, щоб автоматично визначити ймовірність «принаймні одного» успіху на основі ймовірності успіху в даному випробуванні та загальної кількості випробувань.