Коефіцієнт асиметрії

за Редакція 5 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке коефіцієнт асиметрії, як він розраховується та як його інтерпретувати. Зокрема, ви дізнаєтеся, як розрахувати три типи коефіцієнтів асиметрії, які найчастіше використовуються в статистиці.

Що таке коефіцієнт асиметрії?

У статистиці коефіцієнт асиметрії – це коефіцієнт, який дозволяє обчислити асиметрію розподілу. Тобто, коефіцієнт асиметрії використовується для визначення того, чи є функція позитивною, негативною або симетричною.

Коефіцієнт асиметрії також можна назвати індексом асиметрії .

Майте на увазі, що асиметрія розподілу залежить від форми кривої. Таким чином, різні типи асиметрії:

Позитивна асиметрія : розподіл має більше різних значень праворуч від середнього, ніж ліворуч.
Негативна асиметрія : розподіл має більше різних значень ліворуч від середнього, ніж праворуч.
Симетрія : розподіл має однакову кількість значень ліворуч і праворуч від середнього.

В основному використовуються три типи коефіцієнтів асиметрії в залежності від випадку: коефіцієнт Фішера, коефіцієнт Пірсона і коефіцієнт Боулі. Як розрахувати кожен тип коефіцієнта асиметрії, докладно пояснюється нижче.

Коефіцієнт асиметрії Фішера

Коефіцієнт асиметрії Фішера дорівнює третьому моменту середнього значення, поділеному на стандартне відхилення вибірки. Тому формула для коефіцієнта асиметрії Фішера має вигляд:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Для розрахунку коефіцієнта Фішера можна використовувати будь-яку з наступних двох формул:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

золото

$E$

є математичне сподівання,

$\mu$

середнє арифметичне,

$\sigma$

стандартне відхилення і

$N$

загальна кількість даних.

З іншого боку, якщо дані згруповані, ви можете використовувати таку формулу:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Де в даному випадку

$x_i$

Це ознака класу і

$f_i$

абсолютна частота курсу.

Після обчислення його значення інтерпретація коефіцієнта асиметрії Фішера виглядає наступним чином:

Якщо коефіцієнт асиметрії Фішера додатний, розподіл має позитивну асимметрию.
Якщо коефіцієнт асиметрії Фішера негативний, розподіл має негативну асимметрию.
Якщо розподіл симетричний, то коефіцієнт асиметрії Фішера дорівнює нулю. Зворотне не вірно, тобто той факт, що коефіцієнт Фішера дорівнює нулю, не завжди означає, що розподіл є симетричним.

Коефіцієнт асиметрії Пірсона

Коефіцієнт асиметрії Пірсона дорівнює різниці між середнім значенням вибірки та модою, поділеній на її стандартне відхилення (або стандартне відхилення). Отже , формула для коефіцієнта асиметрії Пірсона має такий вигляд:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

золото

$A_p$

– коефіцієнт Пірсона,

$\mu$

середнє арифметичне,

$Mo$

мода і

$\sigma$

стандартне відхилення.

Майте на увазі, що коефіцієнт асиметрії Пірсона можна обчислити, лише якщо це унімодальний розподіл, тобто якщо в даних є лише одна мода.

У деяких статистичних книгах коефіцієнт асиметрії Пірсона обчислюється за допомогою медіани замість моди, але зазвичай використовується наведена вище формула.

Після розрахунку коефіцієнта асиметрії Пірсона його значення необхідно інтерпретувати відповідно до таких правил:

Якщо коефіцієнт асиметрії Пірсона додатний, це означає, що розподіл має позитивну асимметрию.
Якщо коефіцієнт асиметрії Пірсона негативний, це означає, що розподіл має негативну асиметрію.
Якщо коефіцієнт асиметрії Пірсона дорівнює нулю, це означає, що розподіл є симетричним.

Коефіцієнт асиметрії Боулі

Коефіцієнт асиметрії Боулі дорівнює сумі третього квартиля плюс перший квартиль мінус подвоєна медіана, поділена на різницю між третім і першим квартилями. Таким чином, формула для цього коефіцієнта асиметрії виглядає наступним чином:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

золото

$Q_1$

$Q_3$

Це відповідно перший і третій квартилі і

$Me$

є медіаною розподілу.

Нагадаємо, що медіана розподілу збігається з другим квартилем.

➤ Дивіться: як знайти квартилі

Інтерпретація коефіцієнта Боулі виконується так само, як і в двох попередніх типах коефіцієнтів асиметрії:

Якщо коефіцієнт асиметрії Боулі додатний, розподіл є позитивно викривленим.
Якщо коефіцієнт асиметрії Боулі від’ємний, розподіл має негативну асимметрию.
Якщо коефіцієнт асиметрії Боулі дорівнює нулю, розподіл є симетричним.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке коефіцієнт асиметрії?

Коефіцієнт асиметрії Фішера

Коефіцієнт асиметрії Пірсона

Коефіцієнт асиметрії Боулі

Про автора

Редакція

Додати коментар