Контрастна статистика

за Редакція 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке статистика контрасту, які найпоширеніші формули для статистики контрасту та багато іншого, зв’язок між статистикою контрасту, областю відхилення та областю прийняття.

Що таке статистика контрасту?

Контрастна статистика – це змінна з відомим розподілом ймовірностей, пов’язана з гіпотезою дослідження. Зокрема, контрастна статистика використовується під час перевірки гіпотези, щоб відхилити або прийняти нульову гіпотезу.

Насправді рішення про те, відхиляти чи ні нульову гіпотезу перевірки гіпотези, базується на значенні тестової статистики. Якщо значення тестової статистики потрапляє в область відхилення, нульова гіпотеза відхиляється. тоді як, якщо значення тестової статистики потрапляє в область прийнятності, нульова гіпотеза приймається.

➤ Див.: Перевірка гіпотез (статистика)

Формули статистики контрасту

Залежно від типу перевірки гіпотези розподіл тестової статистики різний. Таким чином, формула тестової статистики також залежить від типу перевірки гіпотези. Далі ми побачимо, як обчислюється тестова статистика залежно від типу перевірки гіпотези.

Контрастна статистика для середнього

Формула для статистики перевірки гіпотези для середнього з відомою дисперсією :

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

золото:

$Z$

це статистика перевірки гіпотези для середнього.
$\overline{x}$

це зразок засобів.
$\mu$

є запропонованим середнім значенням.
$\sigma$

стандартне відхилення сукупності.
$n$

це розмір вибірки.

Після обчислення статистики контрасту гіпотези для середнього значення слід інтерпретувати результат як відхилення або відхилення нульової гіпотези:

Якщо перевірка гіпотези для середнього є двосторонньою, нульова гіпотеза відхиляється, якщо абсолютне значення статистики перевищує критичне значення Z _α/2 .
Якщо перевірка гіпотези для середнього збігається з правим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистичне значення перевищує критичне значення Z _α .
Якщо перевірка гіпотези для середнього збігається з лівим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистичне значення менше критичного значення -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

У цьому випадку критичні значення отримують із стандартизованої таблиці нормального розподілу.

З іншого боку, формула для статистики перевірки гіпотези для середнього з невідомою дисперсією :

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

золото:

$t$

це статистика перевірки гіпотези для середнього значення, яке визначається t-розподілом Стьюдента.
$\overline{x}$

це зразок засобів.
$\mu$

є запропонованим середнім значенням.
$s$

є стандартним відхиленням вибірки.
$n$

це розмір вибірки.

Як і раніше, розрахований результат статистики контрасту повинен бути інтерпретований з критичним значенням, щоб відхилити чи ні нульову гіпотезу:

Якщо перевірка гіпотези для середнього є двосторонньою, нульова гіпотеза відхиляється, якщо абсолютне значення статистики перевищує критичне значення t _α/2|n-1 .
Якщо перевірка гіпотези для середнього збігається з правим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистичне значення перевищує критичне значення t _α|n-1 .
Якщо перевірка гіпотези для середнього збігається з лівим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистика менша за критичне значення -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Коли дисперсія невідома, критичні тестові значення отримують з таблиці розподілу Стьюдента.

➤ Див.: Перевірка гіпотези для середнього значення

Контрастна статистика для пропорції

Формула для статистики перевірки гіпотези для пропорції :

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

золото:

$Z$

це статистика перевірки гіпотези для частки.
$\widehat{p}$

є пропорцією зразка.
$p$

це запропоноване значення пропорції.
$n$

це розмір вибірки.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

є стандартним відхиленням пропорції.

Майте на увазі, що недостатньо обчислити статистику перевірки гіпотези для пропорції, але результат потрібно інтерпретувати:

Якщо перевірка гіпотези пропорції є двосторонньою, нульова гіпотеза відхиляється, якщо абсолютне значення статистики перевищує критичне значення Z _α/2 .
Якщо перевірка гіпотези пропорції збігається з правим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистичне значення перевищує критичне значення Z _α .
Якщо перевірка гіпотези для пропорції збігається з лівим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистика менша за критичне значення -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Пам’ятайте, що критичні значення можна легко отримати зі стандартної таблиці нормального розподілу.

➤ Див.: Перевірка гіпотез щодо пропорції

Контрастна статистика для дисперсії

Формула для розрахунку статистики перевірки гіпотези для дисперсії :

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

золото:

$\chi^2$

це статистика перевірки гіпотези для дисперсії, яка має розподіл хі-квадрат.
$n$

це розмір вибірки.
$s^2$

дисперсія вибірки.
$\sigma^2$

є дисперсією запропонованої сукупності.

Щоб інтерпретувати результат статистики, отримане значення необхідно порівняти з критичним значенням тесту.

Якщо перевірка гіпотези на дисперсію є двосторонньою, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистичне значення перевищує критичне значення.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

або якщо критичне значення менше ніж

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Якщо перевірка гіпотези для дисперсії збігається з правим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистика перевищує критичне значення
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Якщо перевірка гіпотези на дисперсію збігається з лівим хвостом, нульова гіпотеза відхиляється, якщо статистика менша за критичне значення
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Критичні значення перевірки гіпотези для дисперсії отримують з таблиці розподілу хі-квадрат. Зверніть увагу, що ступені свободи розподілу хі-квадрат є розміром вибірки мінус 1.

➤ Див.: Перевірка гіпотези дисперсії

Контрастна статистика, область відхилення та область прийняття

У перевірці гіпотези область відхилення — це область графіка розподілу тестової статистики, яка означає відхилення нульової гіпотези (і прийняття альтернативної гіпотези). З іншого боку, область прийняття – це область графіка розподілу тестової статистики, яка передбачає прийняття нульової гіпотези (і відхилення альтернативної гіпотези).

Таким чином, значення контрастної статистики визначає результат перевірки гіпотези таким чином:

Якщо тестова статистика потрапляє в область відхилення, нульова гіпотеза відхиляється, а альтернативна гіпотеза приймається.
Якщо тестова статистика потрапляє в область прийнятності, нульова гіпотеза приймається, а альтернативна гіпотеза відхиляється.

Значення, які відокремлюють область відхилення від області прийняття, називаються критичними значеннями . Тому нам потрібно обчислити критичні значення, щоб знати межі області відхилення та області прийняття, а отже, знати, коли відхилити, а коли прийняти нульову гіпотезу.

➤ Див.: Критичне значення

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке статистика контрасту?

Формули статистики контрасту

Контрастна статистика для середнього

Контрастна статистика для пропорції

Контрастна статистика для дисперсії

Контрастна статистика, область відхилення та область прийняття

Про автора

Редакція

Додати коментар