Що таке майно без пам’яті? (визначення & #038; приклад)

У статистиці кажуть, що розподіл ймовірностей має властивість без пам’яті , якщо на ймовірність майбутньої події не впливає настання минулих подій.

Існує лише два розподіли ймовірностей із властивістю без пам’яті:

• Експоненціальний розподіл з невід’ємними дійсними числами.
• Геометричний розподіл з цілими невід’ємними числами.

Ці два розподіли ймовірностей використовуються для моделювання очікуваного часу до настання події.

Виявляється, що в будь-який момент часу знання про те, скільки часу вже минуло, насправді не говорить нам про те, чи ймовірніше подія відбудеться раніше чи пізніше.

Наступні приклади допомагають нам краще зрозуміти властивість без пам’яті.

Інтуїція власності без пам’яті

Розглянемо наступні приклади:

Не без пам’яті

Відомо, що ноутбуки певної марки служать в середньому близько 6 років, перш ніж померти. Отже, якщо ми знаємо, що конкретному ноутбуку 5 років, очікуваний час до його виходу з ладу є досить коротким. Однак, якщо іншому ноутбуку лише 1 рік, очікуваний час до його виходу з ладу є досить довгим.

У цьому прикладі знання того, скільки часу минуло протягом терміну служби кожного ноутбука, говорить нам, як довго ноутбук працюватиме, поки не помре. Отже, цей розподіл ймовірностей не мав би властивості без пам’яті.

Без пам’яті

Здогадайтеся, що Джессіка володіє магазином. Вона хоче знати, як довго їй доведеться чекати, поки в магазин зайде наступний клієнт.

У цьому прикладі знати, коли останній клієнт увійшов до магазину, не дуже корисно для прогнозування, коли увійде наступний клієнт, оскільки кожен клієнт незалежний і демонструє індивідуальну поведінку.

Отже, цей розподіл ймовірностей матиме властивість без пам’яті. Іншими словами, на ймовірність події в майбутньому не впливає настання минулих подій.

Властивість без пам’яті: формальне визначення

У формальних статистичних термінах випадкова змінна X вважається такою, що відповідає розподілу ймовірностей із властивістю без пам’яті, якщо для a і b   у {0, 1, 2, …} вірно, що:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

Наприклад, припустимо, що ми маємо розподіл ймовірностей із властивістю безпам’яті, а X — це кількість спроб до першого успіху. Якщо a = 30 і b = 10, ми б сказали:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

Іншими словами, якщо у нас було 30 невдалих випробувань, то ймовірність того, що нам доведеться чекати до випробування №40 або пізніше, щоб досягти успіху, така ж, як імовірність почати з нуля і дочекатися випробування №10. або більше, щоб досягти успіху.

Оскільки цей розподіл ймовірностей має властивість без пам’яті, це означає, що знання кількості невдач, які ми мали до певного моменту, ще не говорить нам про ймовірність невдачі в майбутньому.

Властивість memoryless: приклад

Припустимо, що в магазин заходить в середньому 30 покупців на годину, а час між приходами розподіляється експоненціально. Між послідовними відвідуваннями в середньому проходить 2 хвилини.

Припускається, що минуло 10 хвилин з моменту прибуття останнього клієнта. Враховуючи, що це надзвичайно довгий період часу, здається більш імовірним, що клієнт прибуде протягом хвилини.

Однак, оскільки експоненціальний розподіл має властивість безпам’яті, це не виявляється так. Час, витрачений на очікування наступного клієнта, не залежить від часу, який пройшов з моменту прибуття останнього клієнта.

Ми можемо довести це за допомогою CDF експоненціального розподілу:

CDF: 1 – e ^-λx

де λ розраховується як 1/середній час між прибуттями. У нашому прикладі λ = 1/2 = 0,5.

Якщо покласти a = 10 і b = 1, то матимемо:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr( ^X > 10 + 1 |

Незалежно від того, скільки часу минуло з моменту прибуття останнього клієнта, ймовірність того, що до наступного прибуття залишиться більше хвилини, становить 0,6065 .