Нормальна біноміальна апроксимація: визначення та приклад

Якщо _ _ _ _ _

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

Виявляється, якщо n достатньо велике, ми можемо використовувати нормальний розподіл для наближення ймовірностей, пов’язаних із біноміальним розподілом. Це називається нормальним біноміальним наближенням .

Щоб n було «достатньо великим», воно має відповідати наступним критеріям:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Коли задовольняються обидва критерії, ми можемо використовувати нормальний розподіл, щоб відповісти на ймовірнісні питання, пов’язані з біноміальним розподілом.

Однак нормальний розподіл є неперервним розподілом ймовірностей, тоді як біноміальний розподіл є дискретним розподілом ймовірностей, тому нам потрібно застосувати поправку на безперервність під час обчислення ймовірностей.

Простіше кажучи, поправка на безперервність — це назва додавання або віднімання 0,5 від дискретного значення x.

Наприклад, скажімо, ми хочемо знайти ймовірність того, що монета впаде на орди, що менше або дорівнює 45 разів протягом 100 підкидань. Тобто ми хочемо знайти P(X ≤ 45). Щоб використати нормальний розподіл для апроксимації біноміального розподілу, ми замість цього знайдемо P(X ≤ 45,5).

У наведеній нижче таблиці показано, коли потрібно додавати або віднімати 0,5 залежно від типу ймовірності, яку ви намагаєтеся знайти:

Наступний покроковий приклад показує, як використовувати нормальний розподіл для наближення біноміального розподілу.

Приклад: нормальна апроксимація бінома

Припустімо, ми хочемо знати ймовірність того, що монета впаде на орди, що менше або дорівнює 43 разам у 100 підкиданнях.

У цій ситуації ми маємо такі значення:

• n (кількість випробувань) = 100
• X (кількість успіхів) = 43
• p (ймовірність успіху в даному випробуванні) = 0,50

Щоб обчислити ймовірність того, що монета випаде на голови менше або дорівнює 43 разам, ми можемо використати наступні кроки:

Крок 1. Переконайтеся, що розмір вибірки достатньо великий для використання нормального наближення.

Перш за все, нам потрібно перевірити відповідність наступним критеріям:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

У цьому випадку маємо:

• np = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Обидва числа більші за 5, тому ми можемо сміливо використовувати звичайне наближення.

Крок 2: Визначте поправку безперервності, яку потрібно застосувати.

Звертаючись до таблиці вище, ми бачимо, що ми повинні додати 0,5, коли працюємо з ймовірністю у формі X ≤ 43. Таким чином, ми знайдемо P(X< 43,5).

Крок 3: Знайдіть середнє (μ) і стандартне відхилення (σ) біноміального розподілу.

µ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

Крок 4. Знайдіть z-показник, використовуючи середнє значення та стандартне відхилення, знайдені на попередньому кроці.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Крок 5: Знайти ймовірність, пов’язану з z-показником.

Ми можемо використати звичайний калькулятор CDF , щоб знайти, що площа під стандартною нормальною кривою ліворуч від -1,3 дорівнює 0,0968 .

Таким чином, ймовірність того, що монета випаде вгору менше або дорівнює 43 разам за 100 підкинь, дорівнює 0,0968 .

Цей приклад ілюструє наступне:

• У нас була ситуація, коли випадкова величина слідувала за біноміальним розподілом.
• Ми хотіли знайти ймовірність отримати певне значення для цієї випадкової величини.
• Оскільки розмір вибірки (n = 100 випробувань) був достатньо великим, ми змогли використати нормальний розподіл для наближення біноміального розподілу.

Це повний приклад того, як використовувати нормальне наближення для знаходження ймовірностей, пов’язаних із біноміальним розподілом.