Операції з подіями

за Редакція 6 Серпня, 2023 Ймовірність 0 коментарів

Тут ми пояснюємо, які операції можна виконувати з подіями та як обчислюється кожен тип операції з подіями. Крім того, ви можете потренуватися з покроковими вправами на операції з подіями.

Види операцій з подіями

У теорії ймовірностей існує три типи операцій з подіями:

Об’єднання подій : це ймовірність того, що відбудеться та чи інша подія.
Перетин подій : це спільна ймовірність двох або більше подій.
Різниця подій : це ймовірність того, що одна подія відбувається, але інша подія не відбувається одночасно.

Просто визначивши кожен тип операції події, важко зрозуміти, як виконується кожен тип операції. Тому нижче ми пояснимо три операції більш детально.

союз подій

Об’єднання двох подій A і B — це ймовірність того, що подія A, подія B або обидві події відбуваються одночасно.

Символом об’єднання двох різних подій є U, тому об’єднання двох подій позначається літерою U посередині двох літер, які представляють події.

$A\cup B$

Ймовірність об’єднання двох подій дорівнює сумі ймовірностей появи кожної події мінус ймовірність перетину двох подій.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Наприклад, ми розрахуємо ймовірність подій «викидання парного числа» або «викидання числа більше 4» під час кидання кубика.

Під час кидання кубика є три можливості отримати парне число (2, 4 і 6), тому ймовірність події дорівнює:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

З іншого боку, є лише два числа, більші за чотири (5 і 6), тому їхня ймовірність дорівнює:

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

А перетин двох подій відповідає числам, які з’являються в обох подіях, отже:

$A\cap B=\{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167$

Коротше кажучи, об’єднавши події A і B, ймовірність їх виникнення буде:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

перетин подій

Перетин двох подій A і B — це ймовірність того, що події A і B відбуваються одночасно.

Символ перетину двох подій представлено перевернутою U.

$A\cap B$

Імовірність перетину двох подій дорівнює добутку ймовірностей кожної події окремо.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Очевидно, щоб обчислити ймовірність перетину двох подій, ці дві події повинні бути сумісними.

➤ Дивіться: Які події сумісні?

Як приклад, ми знайдемо ймовірність того, що події «отримати парне число» та «отримати число більше 4» перетинаються під час кидання кубика.

Як ми розрахували вище, ймовірність кожної окремої події становить:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

Таким чином, ймовірність перетину двох подій буде множенням ймовірностей кожної події:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}$

різниця подій

Різниця двох подій A мінус B відповідає всім елементарним подіям A, яких немає в B. Іншими словами, у різниці двох подій A мінус B подія A виконується, але подія B не може виконуватися одночасно.

$A-B$

Імовірність різниці між двома подіями A і B дорівнює ймовірності появи події A мінус ймовірність появи елементарних подій, спільних для A і B.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

Слідуючи тому ж прикладу, що і в двох попередніх типах операцій, визначимо ймовірність цього за різницею події «отримання парного числа» мінус «отримання числа більше 4» при киданні кубика.

Імовірності подій A, B та їх перетину наступні (ви можете побачити детальний розрахунок вище):

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$A\cap B= \{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167$

Тому ймовірність появи різниці між двома подіями дорівнює:

$\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}$

Цікаво, що різниця подій AB має властивість також бути еквівалентною перетину між подією A та додатковою (або протилежною) подією B.

$A-B=A\cap\overline{B}$

➤ Дивіться: Що таке додаткова подія?

Розв’язані вправи на операції з подіями

Вправа 1

Якщо ви кинете шестигранний кубик, яка ймовірність отримати непарне число або число менше 3?

побачити рішення

У цій вправі ми повинні обчислити ймовірність того, що відбудеться та чи інша подія, тому ми повинні знайти ймовірність об’єднання двох подій.

Тому ми спочатку обчислюємо ймовірність отримання непарного числа, застосовуючи закон Лапласа:

$P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5$

По-друге, ми визначаємо ймовірність отримати число менше 3:

$P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33$

Тепер давайте обчислимо ймовірність елементарних подій, які повторюються в подіях, які є лише числом 1 (тільки непарне менше 3):

$P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167$

І, нарешті, ми застосовуємо формулу для об’єднання двох подій, щоб знайти їхню ймовірність:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

Вправа 2

У коробку ми поклали 3 помаранчевих кульки, 2 синіх і 5 білих кульок. Ми проводимо випадковий експеримент: беремо м’яч, кладемо його назад у коробку, а потім забираємо іншу м’яч. Яка ймовірність витягнути синю кульку з першої та помаранчеву з другої?

побачити рішення

Щоб вирішити цю проблему, ми повинні обчислити перетин двох подій, тому що ми хочемо, щоб обидві елементарні події були істинними.

Тому ми спочатку обчислюємо ймовірність зловити синю кулю, застосовуючи правило Лапласа:

$P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2$

Потім знаходимо ймовірність отримати помаранчеву кулю:

$P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3$

І, нарешті, обчислюємо ймовірність перетину двох подій шляхом множення двох знайдених ймовірностей:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}$

Підсумовуючи, існує лише 6% ймовірності зловити синю кульку з першої спроби та помаранчеву з другої спроби.

Вправа 3

Ймовірність того, що Марта складе іспит, становить 1/3, а ймовірність того, що Хуан складе той самий іспит, — 2/5. Яка ймовірність того, що Марта досягне успіху, а Хуан зазнає невдачі?

дивіться рішення

У цій вправі нам потрібно обчислити різницю між двома подіями, тому що ми хочемо, щоб Марта схвалила, але не Хуан. Для цього просто скористайтеся формулою для цього типу операції з подіями:

$\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}$

Тому ймовірність того, що Марта досягне успіху, а Хуан зазнає невдачі, становить 20%.

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Види операцій з подіями

союз подій

перетин подій

різниця подій

Розв’язані вправи на операції з подіями

Вправа 1

Вправа 2

Вправа 3

Про автора

Редакція

Додати коментар