Перевірка гіпотези на різницю в середніх

за Редакція 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке перевірка гіпотези різниці середніх у статистиці та для чого вона використовується. Крім того, ви дізнаєтесь, як виконати перевірку гіпотези щодо різниці середніх значень і покроково розв’язану вправу.

Що таке перевірка гіпотези для середньої різниці?

Перевірка гіпотези на різницю середніх значень — це статистичний тест, який використовується для відхилення або прийняття гіпотези про те, що середні значення двох сукупностей різні. Тобто перевірка гіпотези різниці в середніх значеннях використовується для визначення того, чи є середні значення двох популяцій однаковими чи різними.

Майте на увазі, що рішення, прийняті під час перевірки гіпотези, ґрунтуються на попередньо встановленому рівні достовірності , тому не можна гарантувати, що результат перевірки гіпотези завжди буде правильним, а радше те, що це найімовірніший результат, який є істинним.

Перевірка гіпотези на різницю двох середніх включає обчислення тестової статистики та порівняння її з критичним значенням, щоб відхилити нульову гіпотезу чи ні. Нижче ми побачимо, як виконати перевірку гіпотези на різницю середніх.

Зрештою, пам’ятайте, що в статистиці перевірка гіпотез також може називатися протиставленням гіпотез, перевіркою гіпотез або перевіркою значущості.

➤ Див.: Вибірковий розподіл різниці середніх

Формула перевірки гіпотез для різниці середніх

Формула, яку слід використовувати для перевірки гіпотез про різницю в середніх значеннях, змінюється залежно від того, чи відомі дисперсії сукупності, і, якщо ні, чи можна припустити, що вони однакові чи різні. Отже, у цьому розділі ми побачимо, яку формулу використовувати залежно від випадку.

Відомі варіації

Формула для розрахунку статистики перевірки гіпотези для різниці середніх значень, коли дисперсії відомі, така:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

золото:

$Z$

це статистика перевірки гіпотези для різниці двох середніх значень з відомою дисперсією, яка відповідає стандартному нормальному розподілу.
$\mu_1$

це середнє значення сукупності 1.
$\mu_2$

це середнє значення сукупності 2.
$\overline{x_1}$

є середнім значенням зразка 1.
$\overline{x_2}$

є середнім значенням зразка 2.
$\sigma_1$

є стандартним відхиленням сукупності 1.
$\sigma_2$

є стандартним відхиленням сукупності 2.
$n_1$

розмір вибірки 1.
$n_2$

розмір вибірки 2.

Майте на увазі, що це найменш поширений випадок, тому ця формула використовується лише в окремих випадках.

Невідомі та рівні відхилення

Формула для розрахунку статистики перевірки гіпотези для різниці середніх значень, коли дисперсії генеральної сукупності невідомі, але вважаються рівними :

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$

золото:

$t$

це статистика перевірки гіпотези для різниці середніх значень з невідомими дисперсіями, яка відповідає t-розподілу Стьюдента з n ₁ + n ₂ -2 ступенями свободи.
$\mu_1$

це середнє значення сукупності 1.
$\mu_2$

це середнє значення сукупності 2.
$\overline{x_1}$

є середнім значенням зразка 1.
$\overline{x_2}$

є середнім значенням зразка 2.
$s_p$

є комбінованим стандартним відхиленням.
$n_1$

розмір вибірки 1.
$n_2$

розмір вибірки 2.

Сукупне стандартне відхилення двох зразків обчислюється за такою формулою:

$\displaystyle s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$

Невідомі та різні варіації

Коли дисперсії генеральної сукупності невідомі і, крім того, вони вважаються різними, формула для розрахунку статистики перевірки гіпотези для різниці середніх має такий вигляд:

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

золото:

$t$

це статистика перевірки гіпотези для різниці середніх значень з невідомими дисперсіями, яка відповідає t-розподілу Стьюдента.
$\mu_1$

це середнє значення сукупності 1.
$\mu_2$

це середнє значення сукупності 2.
$\overline{x_1}$

є середнім значенням зразка 1.
$\overline{x_2}$

є середнім значенням зразка 2.
$\sigma_1$

є стандартним відхиленням сукупності 1.
$\sigma_2$

є стандартним відхиленням сукупності 2.
$n_1$

розмір вибірки 1.
$n_2$

розмір вибірки 2.

Однак у цьому випадку ступені вільності t-розподілу Стьюдента розраховуються за такою формулою:

$\displaystyle GL=\frac{\displaystyle\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{s_1^2}{n_1}}{n_1-1}+\frac{\displaystyle\frac{s_2^2}{n_2}}{n_2-1}}$

➤ Див.: Формула довірчого інтервалу для різниці середніх

Конкретний приклад перевірки гіпотези на різницю середніх

Щоб закінчити засвоєння концепції перевірки гіпотези на основі різниці в середніх, ми розглянемо конкретний приклад цього типу перевірки гіпотези.

Ви хочете провести статистичне дослідження заробітної плати двох конкуруючих компаній, точніше, ви хочете визначити, чи відрізняється середня заробітна плата в двох компаніях. Для цього береться вибірка з 47 працівників з однієї компанії та ще одна вибірка з 55 працівників з іншої компанії. З першої вибірки отримано середню зарплату 40 000 доларів США та стандартне відхилення 12 000 доларів США, а з другої вибірки – середню зарплату 46 000 доларів США та стандартне відхилення 18 000 доларів США. Виконайте перевірку гіпотези з рівнем значущості 5%, щоб визначити, чи відрізняються середні зарплати чи ні.

У цьому випадку нульова гіпотеза та альтернативна гіпотеза перевірки гіпотези на різницю двох середніх є такими:

$\begin{cases}H_0: \mu_1-\mu_2=0\\[2ex] H_1:\mu_1-\mu_2\neq 0 \end{cases}$

У цьому випадку розриви населення невідомі, але можна припустити, що вони рівні, оскільки це конкуруючі компанії, а умови роботи на ринку, на якому вони працюють, дуже схожі. Таким чином, формула для статистики перевірки гіпотези для різниці середніх, яку ми повинні використовувати, така:

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$

Тому ми обчислюємо об’єднане стандартне відхилення двох вибірок:

$\begin{aligned}\displaystyle s_p&=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\\[2ex]\displaystyle s_p&=\sqrt{\frac{(47-1)\cdot 12000^2+(55-1)\cdot 18000^2}{47+55-2}}\\[2ex]s_p&=15530,61\end{aligned}$

Тепер ми застосуємо формулу перевірки гіпотези для різниці середніх:

$\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\cfrac{(40000-46000)-0}{\displaystyle 15530,61\sqrt{\frac{1}{47}+\frac{1}{55}}}=-1,94$

З іншого боку, ми шукаємо критичне значення перевірки гіпотези для різниці середніх у таблиці t Стьюдента :

$\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n_1+n_2-2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 100}=1,984\end{array}$

Тоді, оскільки абсолютне значення тестової статистики менше критичного тестового значення, нульова гіпотеза приймається, а альтернативна гіпотеза відхиляється.

$|-1,94|=1,94<1,984 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1$

Про автора

Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Що таке перевірка гіпотези для середньої різниці?

Формула перевірки гіпотез для різниці середніх

Відомі варіації

Невідомі та рівні відхилення

Невідомі та різні варіації

Конкретний приклад перевірки гіпотези на різницю середніх

Про автора

Редакція

Додати коментар