Що таке розповсюдження помилок? (визначення & #038; приклад)
Поширення помилки відбувається, коли ви вимірюєте деякі величини a , b , c , … з невизначеністю δa , δb , δc …, а потім хочете обчислити іншу величину Q, використовуючи вимірювання a , b , c тощо.
Виходить, що невизначеності δ a , δ b , δc будуть поширюватися (тобто «поширюватися») аж до невизначеності Q.
Для розрахунку невизначеності Q , позначеної δ Q , можна використовувати наступні формули.
Примітка. Для кожної з наведених нижче формул передбачається, що величини a , b , c тощо. містять випадкові та некорельовані помилки.
Додавання або віднімання
Якщо Q = a + b + … + c – (x + y + … + z)
Тоді δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
Приклад. Припустімо, ви вимірюєте довжину людини від землі до талії на рівні 40 дюймів ± 0,18 дюйма. Потім ви вимірюєте довжину людини від талії до маківки, яка становить 30 дюймів ± 0,06 дюйма.
Припустімо, що ви використовуєте ці два вимірювання, щоб обчислити загальний зріст людини. Висота розраховується наступним чином: 40 дюймів + 30 дюймів = 70 дюймів. Невизначеність цієї оцінки буде розрахована таким чином:
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δQ = 0,1897
Це дає нам остаточне вимірювання 70 ± 0,1897 дюйма.
Множення або ділення
Якщо Q = (ab…c) / (xy…z)
Тоді δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
Приклад: припустімо, що ви хочете виміряти відношення довжини елемента a до довжини елемента b . Ви вимірюєте довжину a як 20 дюймів ± 0,34 дюйма, а довжину b як 15 дюймів ± 0,21 дюйма.
Співвідношення, визначене як Q = a/b , буде розраховано як: 20/15 = 1,333 . Невизначеність цієї оцінки буде розрахована таким чином:
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1,333| * √ (.34/20) 2 + (.21/15) 2
- δQ = 0,0294
Це дає нам кінцеве співвідношення 1,333 ± 0,0294 дюйма.
Виміряна кількість, помножена на точне число
Якщо A відомо точно і Q = A x
Тоді δ Q = |A|δx
Приклад. Припустімо, ви виміряли діаметр кола, що дорівнює 5 метрів ± 0,3 метра. Потім ви використовуєте це значення для обчислення окружності кола c = πd .
Довжина кола буде розрахована як c = πd = π*5 = 15,708 . Невизначеність цієї оцінки буде розрахована таким чином:
- δQ = |A|δx
- δ Q = | π | * 0,3
- δQ = 0,942
Отже, довжина кола дорівнює 15,708 ± 0,942 метра.
Невизначеність у силі
Якщо n точне число і Q = x n
Тоді δ Q = | Q | * | n | * (δx /x )
Приклад. Припустімо, ви вимірюєте сторону куба як s = 2 дюйма ± 0,02 дюйма. Потім ви використовуєте це значення для обчислення об’єму куба v = s 3 .
Об’єм обчислюється так: v = s 3 = 2 3 = 8 дюймів 3 . Невизначеність цієї оцінки буде розрахована таким чином:
- δ Q = | Q | * | n | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0,24
Отже, об’єм куба дорівнює 8 ± 0,24 дюйма. 3 .
Загальна формула поширення помилки
Якщо Q = Q(x) є функцією від x , то загальну формулу розповсюдження помилки можна визначити таким чином:
δQ = |dQ / dX |δx
Зауважте, що вам рідко доведеться виводити ці формули з нуля, але може бути корисно знати загальну формулу, яка використовується для їх виведення.
Про автора
Редакція
Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше